x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解

文/施承忠


证：
当n=1时
若x,y为任意正整数时，z就不能是任意的；当z和y为任意的正整数时，x就不能是任意的；当z和x为任意正整数时，y就不可能是任意的，所以x、y、z,至少有一个是不能任意的，它必须受其它两个正整数的约束。
当n=2时
x^2+y^2=z^2
我们只要证明y是任意素数时上式有整正数解就足够了.因为当y是合数时
设y=pq
若z^2-x^2=q^2成立,
则p^2z^2-p^2x^2=p^2q^2成立。
我们有
z^2-x^2=y^2
则z^2-x^2=(z-x)(z+x)
如果y是素数只有一种分解
y^2=1*y^2
则z-x=1
z+x=y^2
(y^2)-1/2=x
(y^2)+1/2=y
当n=3时
令y<x<z
(z^2-x^2)*y=y^3
=(z^2)*y-(x^2)*y=y^3
则
(z^2)*y<z^3
(x^2)*y<x^3
因为在z^2-x^2=y^2中
x=z-1
现在
3√((x^2)*y)=d<x
3√((z^2)*y)=e<z
z-2<d<z-1
x<e<x+1
因为x是正整数，x+1是正整数，e肯定不是正整数。
同样x也肯定不是正整数。
如果
(z^2)*y+m=z^3
(x^2)*y+m=f^3
则x<f<z,f肯定不是正整数。
如果
(x^2)*y+m=x^3
(z^2)*y+m=f^3
则x<f<z,结果相同。
所以x,z中至少有一个不是正整数。
令n=1时x=x1,n=n时x=xn
n=1时z=z1,n=n时z=zn
我们有
x-1<xn<xn-1<xn-2<...<x2<x
z-1<zn<zn-1<zn-2<...<z2<z
证毕。


其实当n很大时
(z*y^n-1)-(x*y^n-1)=y^n
则z→x→y,如果y是正整数，则z和x都不是正整数，经过变换z^n-xn^n=y^n,则xn→z，反之则
zn→x,所以z和x肯定其中有一个不是正整数。

y<x<z
则n√2y^n<z<n√2x^n

7-4=3
z1=7
x1=4

7*3-4*3=3^2
(21+4)-(12+4)=3^2
5^2-4^2=3^2
z2=5
x2=4

25*3-16*3=3^3
3√75=4.2172
3√48=3.6342
z3=4.2172
x3=3.6342

75+50=5^3
48+50=98
5^3-98=3^3
3√125=5
3√98=4.6104
z3=5
x3=4.6104

75+16=91
48+16=4^3
91-64=3^3
3√91=4.4979
3√64=4
z3=4.4979
x3=4

75*3-48*3=3^4
4√225=3.873
4√144=3.4641
z4=3.873
x4=3.4641

225+400=5^4
144+400=544
5^4-544=3^4
4√625=5
4√544=4.8295
z4=5
x4=4.8295

225+112=337
144+112=256
337-4^4=3^4
4√337=4.2846
4√256=4
z4=4.2846
x4=4

7-3=4
z1=7
x1=3
y1=4
z1-x1=7-3=4

5^2-3^2=4^2
z2=5
x2=3
y2=4
z2-y2=5-4=1

25*4=100
9*4=36
100+25=5^3
36+25=61
5^3-61=4^3
z3=3√125=5
x3=3√61=3.9365
y3=3√64=4
z3-y3=5-4=1