幻方的简易填写法
幻方的定义及起源
幻方的定义；在一个由已N×N个排列整齐的、不重复的自然数组成的正方形中，每行、每列、两条对角线上的数字之和都等于（N×N+1）×N/2。这个正方形图表叫做幻方。
N称为幻方的阶数，（N×N+1）×N/2称为幻和。
N为奇数时叫奇数阶幻方，N为偶数时称为偶数阶幻方。
而偶数阶幻方又细分：当N能被4整除时就被叫做双偶数阶幻方，不能被4整除的叫做单偶数阶幻方（虽然都是偶数阶幻方，但这两种幻方填写方法不同，难易程度也完全不同）。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的四阶幻方。
幻方在我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
幻方的填法
随着科学技术的发展，人们的认知提高，幻方的填写不再是高深莫测了。各种填法丰富多彩。但简单的、容易上手的不是很多，本文就此展开讨论。
一、奇数阶幻方
大家公认的奇数阶幻方是最简单的。目前公认的是斜线法是最易掌握的。



现以7阶幻方为例说明（如图）：只要将1 的位置找到，然后依斜线往左下方填即可，纵向到底时行从头起（如图中的3和4 ，9和10等），左边到底时从右边起（如图中的4和5，12和13等），N的倍数向下跳两格，跳出框外从上面找（如图中的7和8，14和15，21和22，28和29，35和36等）。只要掌握住这三条，一般的低奇数阶的幻方都可在笑谈之中完成。
二、双偶数阶幻方
双偶数阶幻方一般采用对称法填较容易（N=4×K）。现以一个8阶幻方为例作说明如下：




第一步：按1到N的顺序从左到右、从上到下的依次填写（如左图）。此时图中有以下规律：1、两条对角线的和都等于幻和（8阶幻和为260）；2、以水平中心线为基准，两边对应的两行数字相加等于幻和的两倍；3、以竖直中线为基准，两对应的两列数字相加等于幻和的两倍。
第二步：上面的2K×K长方形与下面的2K×K长方形作中心旋转180度互换；左面的K×2K长方形与右面的K×2K长方形作中心旋转180度互换（如右图）。
经这样对称性变换后的图形就示所求的双偶阶幻方（如图）。
三、单偶数阶幻方
单偶数（4K+2）阶幻方的填法也有很多种，但相比这下，我认为还是对称性填法简单点，现以一个10阶幻方为例说明如下：



第一步：按1到N的顺序从左到右、从上到下的依次填写（如左图）。此时图中有以下规律：1、两条对角线的和都等于幻和（10阶幻和为505）；2、以水平中心线为基准，两边对应的两行数字相加等于幻和的两倍；3、以竖直中线为基准，两对应的两列数字相加等于幻和的两倍。这一步与双偶阶幻方一样。


第二步：确定需要对称变换的部份，与双偶阶一样需要与对就的行或列交换N/2个数，但其状不是长方形而是三角形，要注意：对角线上的数字不要动、中间部份2k×2k部份的数不要动。如图所示对应色块的图形中心对称变换后得到右图所示。



第三步：对余下的除对角线和中间2k×2k部份的数这外的数作轴对称变换：



如图所示，再将两次变换后有右图叠加如图：
此时且发现：上部的N/2-K行已符合幻方要求，对应的下面N/2-K行也符合要求；左面的N/2-K列同样符合要求，对应的右面的列也一样。但中间的2K行和2K列不满足要求。但同样有对应的两行或两列之和是幻和的两倍。

第四步：对中间的左、右两列的数作轴对称变换（紧靠中轴线的左、右一行、列除外）。第一行（或列）、第N/2行（或列），最末一行（或列）的对应两边的数作轴对称变换，如图所示：



经此变换后除了中间的两行和两列不符合幻方要求，其余均已符合。但仔细观察后发现：将最后一行紧靠中线的两数交换，最后一列紧靠轴线的两数交换即可。
因此最后图形为：


这就是最后的10阶幻方。

由此可见，单偶阶幻方克实比双偶阶幻方难多了。但此方法还算是简单的，只要稍微有点文化就可学会。下面再给一个14阶幻方：



这三种填写方法，都是易掌握的，这种填写方法的合理性也是可以证明的，当然这就要涉及有一定的数学深度和难度了，有性趣的读者可去论证一下，本文就不再深谈了。
只要掌握了这三种方法，从理论上说，任意阶都可填写出来。
在计算机已家庭化的今天，恐怕是没有几个人再去用手工填写几十阶甚至上百阶的幻方了。事实上用上述三种方法为算法基础编程用计算机算，那就是很简单的了。我填写了250（单偶阶）、252（双偶阶）、253（奇数阶）幻方，用我的家用一般配置的电脑计算耗时不过都是一秒钟而已，真是秒秒钟搞定。
对于更高阶的幻方填写，对于现在人来说都已不再是难题了。