牛顿269、使用字母表示已知数、未知数，带来代数学-理论研究重大进步

阿波罗尼奥斯[英文：Apollonius of Perga，生卒（zú）年：约公元前262～190年]：…
…阿波罗尼奥斯：见《牛顿268》…
…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…
（…《欧几里得》：小说名…）

《圆锥曲线论》中已有坐标制思想。
…论：见《欧几里得3》…
…《圆锥曲线论》：见《牛顿268》…
…坐：见《牛顿268》…
…标：见《欧几里得64》…
…坐标（数学名词）：指为确定天球上某一点的位置，在天球上建立的球面坐标系…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…位、置、位置：见《伽利略10》…
…系：见《欧几里得25》…）

…坐标（数学汉语）2：能够确定一个点在空间的位置的一个或一组数，叫做这个点的坐标。
（…空、间、空间：见《伽利略10》…）

通常由这个点到垂直相交的若干条固定的直线的距离来表示。
这些直线叫做坐标轴。
坐标轴的数目在平面上为2，在空间里为3…

…制：见《牛顿59》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…





他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…



他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。
…解、释、解释：见《欧几里得56》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）
…模、型、模型：见《伽利略30》…
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…


……
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：法国律师和业余数学家。

…
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…学：见《欧几里得4》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰（zhuàn）写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…总、结、总结：见《欧几里得86》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…撰：见《伽利略34》…

平面与立体轨迹引论（百度百科）：
平面与立体轨迹引论（Ad Locos Planos et soli-dos isagoge），17世纪数学著作。
法国数学家费马（Fermat , P. de）著。大约写于1629年，但直到1679年才出版。
该著作使费马与笛卡儿（Descartes，R.）分享了解析几何创立者的盛誉。
…解、析、解析，几、何、几何，解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…

费马的数学工作继承了韦达（Viete，F.）的传统…
…工、作、工作：见《伽利略22》…
…韦达一般指弗朗索瓦·韦达…


弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540－1603）：1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
…学、习、学习：见《牛顿160》…
…法、律、法律：见《欧几里得159》…
…政、治、政治：见《牛顿86》…

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数，带来了代数学理论研究的重大进步。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

“正常人体需要一个稳定的内在环境，保持正常的体温，维持细胞内水与盐分的适当平衡等。
当这些平衡发生变异或者破坏时，人体内的一些调节机制会自动地进行校正。
但这样的行为还不算是动机。只有当需要推动人们去活动，并把活动引向某一目标时，需要才成为人的动机。
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牛顿270、动、机、动机，动机与需要，动机与目标

平面与立体轨迹引论（百度百科）：…

费马的数学工作继承了韦达（Viete, F.）的传统，但他更进一步试图将代数与几何研究结合起来。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…工、作、工作：见《伽利略22》…
（…《伽利略》：小说名…）
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

《平面与立体轨迹引论》写作的直接动机是试图恢复阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》的内容。
…直、接、直接：见《欧几里得34》…
…动：见《欧几里得23》…
…机：见《欧几里得28》…

动机（百度百科）：动机是激发和维持有机体的行动，并将使行动导向某一目标的心理倾向或内部驱力。
…有、机、有机，体，有机体：见《牛顿59》…
…行、动、行动：见《伽利略23》…
…目、标、目标：见《伽利略19、20》…
…心、理、心理：见《牛顿86》…

动机被认为是决定行为的内在动力。
…动、力、动力：见《伽利略52》…

动机具有三方面功能：
…功、能、功能：见《伽利略44》…

（1）激发功能
激发个体产生某种行为。
…行、为、行为：见《欧几里得197》…

（2）指向功能
使个体的行为指向一定目标。
（3）维持和调节功能
使个体的行为维持一定的时间，并调节行为的强度和方向。

动机与需要
动机是在需要的基础上产生的。
…基、础、基础：见《欧几里得37》…

当人的某种需要没有得到满足时，它会推动人去寻找满足需要的对象，从而产生活动的动机。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…

例如，正常人体需要一个稳定的内在环境，保持正常的体温，维持细胞内水与盐分的适当平衡等。
当这些平衡发生变异或者破坏时，人体内的一些调节机制会自动地进行校正。
但这样的行为还不算是动机。只有当需要推动人们去活动，并把活动引向某一目标时，需要才成为人的动机。

动机与目标
目标是个体努力要达到的具体成绩标准或结果，是个体期望的未来状态。
…标、准、标准：见《牛顿15》…
…结、果、结果：见《牛顿105》…
…状、态、状态：见《伽利略42》…

动机必须有目标，目标引导个体行为的方向，并且提供原动力。

动机的作用
…作、用、作用：见《欧几里得68》…

1、动机是在目标或对象的引导下，激发和维持个体活动的内在心理过程或内部动力。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

动机是一种内部心理过程，不能直接观察，但是可以通过任务选择、努力程度、活动的坚持性和言语表示等行为进行推断。
…观、察、观察：见《牛顿164》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

动机要求活动，活动促使个体达到他们的目标。

2、动机具有激活、指向、维持和调整功能。
动机是个体能动性的一个主要方面，它具有发动行为的作用，能推动个体产生某种活动，使个体从静止状态转向活动状态。
同时它还能将行为指向一定的对象或目标。
当个体活动由于动机激发而产生后，能否坚持活动同样受到动机的调节和支配。

动机（百度汉语）2：推动人从事某种行为的念头：～好，方法不对头，也会把事办坏。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…对：见《欧几里得39》…


“17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望重的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁。
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牛顿271、有定期学术刊物之前的科学信息交换站——马林·梅森

平面与立体轨迹引论（百度百科）：…

《平面与立体轨迹引论》写作的直接动机是试图恢复阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》的内容。
…直、接、直接：见《欧几里得34》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…动、机、动机：见《牛顿270》…
…阿波罗尼奥斯：见《牛顿268》…
…论：见《欧几里得3》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…

费马认为希腊人的研究尽管处理了数量众多的轨迹，但没有形成一般的理论。
…费马：见《牛顿267~269》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…一、般、一般：见《欧几里得125》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

这里，轨迹的意义沿用希腊人的用法，称直线和圆为平面轨迹，椭圆、抛物线、双曲线等称为立体轨迹。
…意、义、意义：见《欧几里得26》…

《平面与立体轨迹引论》尽管用希腊几何的传统风格写成，但费马认为阿波罗尼奥斯的所有轨迹都可表示成含有两个未知数的代数方程的形式。运用韦达的方程理论对这些方程进行分析，就可以洞悉轨迹的本质与作法。
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…方、程、方程：见《伽利略53》…
（…《伽利略》：小说名…）
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…韦达一般指弗朗索瓦·韦达…
（…弗朗索瓦·韦达：见《牛顿269》…）
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…

费马写道：“当两个未知量出现于一个最后的方程中时，我们就有一条轨迹…
直线是简单的、惟一的；曲线则有无穷多类——圆、抛物线、双曲线、椭圆等。”


……
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：…

1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…学：见《欧几里得4》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰（zhuàn）写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…总、结、总结：见《欧几里得86》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…撰：见《伽利略34》…


费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信…

马林·梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）：是17世纪法国著名的数学家和修道士，入选100位在世界科学史上有重要地位的科学家。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…史：见《欧几里得111》…

马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

科学贡献
梅森是一位神职人员，但他却是科学的热心拥护者和守望者，在教会中为了保卫科学事业做了很多有益的工作。
…工、作、工作：见《伽利略22》…

梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美称；而他对科学所作的主要贡献还是他起了一个极不平常的学术思想通道作用。
…力、学、力学：见《伽利略9》…
…术、学术：见《牛顿193》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…作、用、作用：见《欧几里得68》…

17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望重的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁。

许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。
…信、息、信息：见《牛顿93》…

梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种公民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…组、织、组织：见《伽利略19、20》…


“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。——费马
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牛顿272、柱面，椭圆抛物面，双叶双曲面，椭球面

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：…

费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…梅森：见《牛顿271》…

[罗贝瓦尔（Roberval, Gilles Personne de，1602-1675）：法国数学家、物理学家。生于法国桑利（Semis），卒（zú）于巴黎。
…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…

早年自学数学。
1628年到巴黎，参加了“梅森学院”，成为活跃分子。
…梅森学院：见《牛顿271》…

1634年获得巴黎皇家学院的教授职位。
他是巴黎科学院的创始院士。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…

罗贝瓦尔主要贡献在几何学和代数学方面，并在微积分创立前为之做了大量的先驱性工作。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

他引人了“运动合成”法则，把平面曲线看成是一个质点受两个作用。
…运、动、运动：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）
…作、用、作用：见《欧几里得68》…]

但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
…《平面与立体轨迹引论》：见《牛顿269~271》…
…工、作、工作：见《伽利略22》…
…开、创、开创：见《欧几里得153》…

《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”
…方、程、方程：见《伽利略53》…
…式：见《欧几里得132》…

费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。
…勒奈·笛卡儿（René Descartes，1596年3月31日-1650年2月11日）：法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父…
（…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…）
…解、析、解析，几、何、几何，解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…

费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。


笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程，费马则是从方程出发来研究轨迹，这正是解析几何两个相对的方面。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

在1643年的 里，费马也谈到了他的解析几何思想。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…

他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。








[坐标几何（百度百科）：坐标几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
解析几何（英语：analytic geometry），又称为坐标几何（英语：coordinate geometry），早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…参、数、参数：见《欧几里得114》…]

“由于约翰尼斯·开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。
请看下集《牛顿273、曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一》”

牛顿273、曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：…

对微积分的贡献

16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。
…解、析、解析，几、何、几何，解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》《牛顿272》…
（…《欧几里得》：小说名…）

人所共知，牛顿和莱布尼茨（cí）是微积分的缔（dì）造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。
…奠、基、奠基：见《欧几里得115》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…工、作、工作：见《伽利略22》…
（…《伽利略》：小说名…）

但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提。
曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯（sù）到古希腊时期。
…追、溯、追溯：见《欧几里得42》…

阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭（jié）法。
…阿基米德：见《伽利略9~31》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…
…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245~267》…

由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘，直到16世纪才又被重视。
由于约翰尼斯·开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟了一个十分广阔的思考空间。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598～1647）：意大利数学家，积分学先驱者之一…
…空、间、空间：见《伽利略10》…


费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。


“格雷戈里在《论圆和双曲线的实际求积》（1667年）中用无穷级数求圆和双曲线所围面积，给出了函数的新定义，即：函数是从一些其他的量经过一系列运算而得到的量。
请看下集《牛顿274、格雷戈里是热心的天文观测者，结果眼瞎了》”

牛顿274、格雷戈里是热心的天文观测者，结果眼瞎了

穷竭法（百度百科）：…
…穷、竭（jié）、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

在向积分的发展方向上，开普勒、费马、格雷戈里、卡瓦列里、瓦利斯等人都做出了自己的贡献。
…发、展、发展：见《伽利略21》…
（…《伽利略》：小说名…）
…开普勒：见《牛顿24》…
…费马一般指皮耶·德·费玛…
（…皮耶·德·费玛：见《牛顿267》…）



格雷戈里（Gregory，James）：苏格兰数学家和天文学家，1638年11月出生，1675年10月逝世。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…天、文、天文，天文学：见《伽利略1》…

人物生平
早年受家庭教育，跟母亲学习几何学知识。
…教、育、教育：见《牛顿85》…
…学、习、学习：见《牛顿160》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

1651年到阿伯丁上大学，毕业后继续自学。
…阿伯丁（英语：Aberdeen）：英国苏格兰地区的主要城市之一，是苏格兰6个指定市中，人口排行第三的城市（2001年4月时统计为212，125人）。
该市位于苏格兰东北部…


1652年在伦敦发表了《光学的进展》（Optica promota）阐（chǎn）明反射镜理论，并附有一张反射望远镜的草图。以后这种望远镜就以他的名字命名。
…阐、明、阐明：见《欧几里得150》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…


1663年赴意大利进修几何、力学、天文学等。
…力、学、力学：见《伽利略49、50》…

1668年返回伦敦，当选为皇家学会会员，同年被任命为圣安德鲁大学数学教授。
1674年任爱丁堡大学教授。


1663年詹姆士·格雷戈里发表他的十分精美的反射望镜的设计。然而，试图制造它遭到失败，主要由于当时磨玻璃成精确的曲线的技术还不完善，而牛顿用稍稍不同的设计，做出他的头一个反射望远镜。
…设、计、设计：见《欧几里得158》…
…精、确、精确：见《牛顿25》…
…技、术、技术：见《欧几里得104》…





格雷戈里是热心的天文观测者，结果眼瞎了，认为是由于长期用他的望远镜进行窥（kuī）测而导致眼疲劳所致。
…观、测、观测：见《伽利略3》…


…窥（百度百科）：形声。从穴，规声。本义：从小孔或缝里看。
引申指伺机图谋…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

…窥（百度汉语）2：1.从小孔或缝隙里看：管中～豹。
2.暗中察看：～探。～测…

他过早地去世，但还能活着看到胡克制造出格雷戈里式反射望远镜并且呈送到皇家学会。
…胡克：罗伯特·胡克…
（…罗伯特·胡克：见《牛顿140~187》…）

在数学上，格雷戈里首先系统地研究了收敛（liǎn）级数。
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…收、敛、收敛：见《牛顿215》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…

这种级数虽然有无穷多项，但是它的和是有际的（确切说，每项逐步减少）。

主要著作
《光学的进展》
在《论圆和双曲线的实际求积》（1667年）中用无穷级数求圆和双曲线所围面积，给出了函数的新定义，即：函数是从一些其他的量经过一系列运算而得到的量。
…积：见《牛顿19》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…量：见《欧几里得27》…

在《几何的通用部分》（1668年），得到了计算切线具体长度的方法，证明了切线与面积的互逆性。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

“在这本书中沃利斯提出了函数的极限的算术概念：“变量的极限——这是变量能如此逼近的一个常数，使它们之间的差能够小于任何给定的量。”
请看下集《牛顿275、函数极限的算术概念》”

牛顿275、函数极限的算术概念

穷竭法（百度百科）：…
…穷、竭（jié）、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

在向积分的发展方向上，开普勒、费马、格雷戈里、卡瓦列里、沃利斯等人都做出了自己的贡献。
…发、展、发展：见《伽利略21》…
（…《伽利略》：小说名…）
…开普勒：见《牛顿24》…
…费马一般指皮耶·德·费玛…
（…皮耶·德·费玛：见《牛顿267》…）
…格雷戈里：见《牛顿274》…
…卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598～1647）：意大利数学家，积分学先驱者之一…

沃利斯（百度百科）：英国数学家、物理学家。1616年12月3日（另一说11月23日）出生，1703年11月8日（另一说10月28日）逝世。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…


个人简介
沃利斯是一个教区长的儿子，从小受到良好的家庭教育，其父希望他继承神职，为此他进了剑桥大学神学院学习。
…教区长：天主教对“副主教”的另称…

但沃利斯热爱数学，而神学院又不把数学作为主要课程，沃利斯就自修数学。
1640年获硕士学位，同年被委任为牧师。
沃利斯认真钻研了同时代数学家笛卡儿，卡瓦列里等人的论著，翻译了一些古代数学家的著作。
从1645年开始，他就以数学家的身份参加了伦敦自然科学家的学术会议，1649年成为牛津大学萨维里（Savile，英国爵士，曾任牛津墨顿学院院长，1619年他在牛津设立了两个专业讲座席位，一个是几何的，一个是天文的）几何讲座教授，并保持席位达54年之久，直到逝世。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…

沃利斯是英国皇家学会的创始之一，并且是国王的牧师。

人物贡献

沃利斯是最先把圆锥曲线当作二次曲线加以讨论的人之一。
他的《圆锥曲线论》第一次摆脱了过去视圆锥曲线为圆锥的截线的纯几何观念。
…论：见《欧几里得3》…


在这一书里，沃利斯熟练地运用笛卡儿坐标法来讨论二次曲线；他是第一个有意识地引进负向横坐标的人，这本书对完善和传播坐标几何的思想起了重要作用。
…坐、标、坐标：见《牛顿269》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…作、用、作用：见《欧几里得68》…

他的《无穷小算术》一书，本质上是从算术的途径大大扩展了卡瓦列利的不可分原理，采用了无穷小量的学说，引入了无穷级数、无穷连乘积。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
…量：见《欧几里得27》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…
…积：见《牛顿19》…


在这本书中他提出了函数的极限的算术概念：“变量的极限——这是变量能如此逼近的一个常数，使它们之间的差能够小于任何给定的量。”
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…

这个定义向极限的精确定义迈进了重要的一步。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…精、确、精确：见《牛顿25》…




他运用分析法和不可分原理求出了许多面积…
…
牛顿曾说：“大约在我的数学生涯初期，那时我们杰出的同胞沃利斯博士的著作刚刚落入我的手里，他考虑到级数，用级数插入法求出了圆与双曲线的面积。”
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…法：见《欧几里得3》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…

沃利斯在《摆线论》中得到了与计算曲线弧长的公式相等价的式子。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…

沃利斯的上述成果，给牛顿创立微积分学很大的启发。因此，美国数学史家波耶（Boyer）说：“牛顿承认他在分析和流数方面的第一次发现，是受沃利斯的《无穷小算术》的启发。”

“沃利斯在分析圆面积时，得到了有名的沃利斯公式。
请看下集《牛顿276、无穷小是无穷大的倒数；数学在科学研究中的作用》”

牛顿276、无穷小是无穷大的倒数；数学在科学研究中的作用

沃利斯（百度百科）：英国数学家、物理学家。1616年12月3日（另一说11月23日）出生，1703年11月8日（另一说10月28日）逝世。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…

…
在《代数学》里，沃利斯完整地说明了零指数、负指数、分数指数的意义，确认无理数是地地道道的数。
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…说、明、说明：见《欧几里得149》…
…指、数、指数：见《欧几里得114》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…
…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

他还首次引进了沿用至今的无穷大记号，并定义无穷小是无穷大的倒数。
（“恒不为零的无穷小，是无穷大的倒数。”中学老师说。）


沃利斯看到了代数（的）工具的特点，认为代数步骤的简明并不逊于几何的直观，并试图使算术完全脱离几何表示。
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…
…特、点、特点：见《牛顿95》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…直观：见《牛顿220》…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…

他使用的是代数方法，而不是传统的几何方法，对求解过程中涉及的无穷小问题给出了论述。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…问、题、问题：见《伽利略76》…
（…《伽利略》：小说名…）
…论、述、论述：见《欧几里得154》…

他第一个证明了欧几里得卷5中所有定理都可以毫不困难地从算术导出其结论，他这些观点和成果推动了代数的发展。
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…

在《数学文集》中，他提出了连分数这个名词，并给出了计算连分数的渐近分数的一般法则。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…一、般、一般：见《欧几里得125》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…


他还研究了平行线理论。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

他在分析圆面积时，得到了有名的沃利斯公式。
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…



沃利斯对物理学同样也有很多贡献。
…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…

他受皇家学会的委托，研究碰撞物体的性质，在1668年首次提出了动量守恒定律，这是第一个重要的守恒定律，这一发现后来被惠更斯（Huygens）和雷恩（Wren）推广。
…物、体、物体：见《伽利略9》…
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
…惠更斯：见《伽利略6~9，31》…
…克里斯托弗·雷恩（Sir Christopher Wren，1632-1723年）：英国皇家学会会长，天文学家和著名建筑师…见《欧几里得77》…

他的专著《力学—运动简论》（1669—1671年），比较严格地给出了力和动量这些概念的含义。
…力、学、力学：见《伽利略9》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
…动、量、动量：见《伽利略41》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…含、义、含义：见《欧几里得193》…

他曾猜想地球引力集中于地心。


沃利斯不愿受传统的严格性和逻辑性的束缚，大胆地采用虽不成熟但较常用的方法，比如类比法、不完全归纳法以及不太明确的无穷大、无穷小概念，并坦然地对它们作代数运算，从而获得了前所未有的结果。
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…类、比、类比：见《牛顿39》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…完全归纳推理与不完全归纳推理：见《欧几里得40》…


…坦（百度百科）：形声字。从土，旦声。
“旦”字有日光的含义，引申有直的含义。
本义是平直的土地，无坑洼不平。
引申为平坦的含义。《易·履》：“履道坦坦…”
引申为安、宽。《论语·述而》：“君子坦荡荡…”
又引申为显露、袒露、表示心里平静等…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]

…坦（百度汉语）2：形声。从土，旦声。本义：平而宽广。

字义：
1.平而宽广：～途。
2.心里安定：～然。
3.直率；没有隐讳（huì）：～率。～白…

…然：那样…见《欧几里得43》…

…坦然（百度百科）：形容心里平静，无顾虑：～无惧。～自若…
…坦然（百度汉语）2：形容心里平静，无顾虑：～无惧。～自若。神色～…

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

他曾说：“我把（不完全）归纳法和类比当作一种很好的考察方法，因为这种方法的确常常使我们很容易发现一般规律，或者至少是为此而作了一个很好的准备。”
…考、察、考察：见《欧几里得39》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…

他强调数学在科学研究中的作用，认为：“要精确测定物体的运动规律，除了对它们应用数学度量和数学比例外，别无他法。”
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…作、用、作用：见《欧几里得68》…
…精、确、精确：见《牛顿25》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…比、例、比例：见《欧几里得29》…



“沃利斯在语言学方面的这些研究，为他教聋哑人说话的先驱性尝试奠定了一套有用的理论基础。
他还发表过一些关于音乐理论的论文。
请看下集《牛顿277、穷竭法今天已成历史名词；将积分定义为和的极限是柯西给出的》”

牛顿277、穷竭法今天已成历史名词；将积分定义为和的极限是柯西给出的

沃利斯（百度百科）：…
…沃利斯：见《牛顿275、276》…

人物评论

沃利斯是17世纪最有才华、最有创造力的科学家之一。
…创、造、创造：见《欧几里得152》…
…力：见《欧几里得59》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

由于他运用自己的数学知识，破译了从保王党人缴获的密码，在上层社会中闻名遐（xiá）尔，成为有名的密码专家。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
…闻名遐迩：遐：远；迩：近。形容名声很大，远近都知道…
…专、家、专家：见《欧几里得92》…

晚年他把这门技术传播给了他的孙子布莱恩柯威（Blencowe），但当莱布尼茨（cí）为了自己的政府，要求他提供这方面的信息时，他却严守秘密，拒绝作答。
…技、术、技术：见《欧几里得104》…
…信、息、信息：见《牛顿93》…

他在语言学方面也很有建树，他写了一本名著《英国语言文法》并附有两篇论文“实用语法”和“论语言”。
…论：见《欧几里得3》…
…语、言、语言：见《欧几里得160》…

他在语言学方面的这些研究，为他教聋哑人说话的先驱性尝试奠定了一套有用的理论基础。
他还发表过一些关于音乐理论的论文。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…音、乐、音乐：见《欧几里得146、147》…

据传他能心算一个具有53位数的数字的平方根，且准确到17位，可谓计算奇才。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…

沃利斯喜欢争论，且带有极端的民族主义的色彩，特别热衷于同像笛卡儿这样的外国人争论。并且他认为同胞牛顿是微积分的创造者，而指责莱布尼茨为剽（piāo）窃者。
…主义：见《欧几里得10》…


……
穷竭法（百度百科）：…
…穷、竭（jié）、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

在向积分的发展方向上，开普勒、费马、格雷戈里、卡瓦列里、沃利斯等人都做出了自己的贡献。
…发、展、发展：见《伽利略21》…
（…《伽利略》：小说名…）
…开普勒：见《牛顿24》…
…费马一般指皮耶·德·费玛…
（…皮耶·德·费玛：见《牛顿267》…）
…格雷戈里：见《牛顿274》…
…卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598～1647）：意大利数学家，积分学先驱者之一…

到莱布尼兹及牛顿创立了微积分后，穷竭法被根本地修改了。
今天，穷竭法已成了历史名词，但不应该忘记它。
…历、史、历史：见《欧几里得111》…

穷竭法与积分

将积分定义为和的极限是柯西给出的。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…

一般认为他的定义是受到教学上用矩形逼近直线形面积启发的。至于他是否受到希腊数学家的影响、影响多大我们不得而知。
…面、积、面积：见《牛顿261》…

但无论如何，尽管穷竭法的推证是几何的，而非算术的。但是，穷竭法中并没有显示出积分的法则，它只是积分的一种简单情形。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…
…简、单、简单：见《伽利略13》…

这里的悬殊是观念性的，而不仅仅是难易的问题。

虽然知道一种技巧与将此技巧一般化之间差别不是太大，但是积分法则是依赖于整套极限理论的，这是穷竭法所不能企及的。
…一、般、一般：见《欧几里得125》…
…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

但我们仍然可以说，穷竭法含有原始的积分思想，它的思想巳深深地渗透到了其后的数学中。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…

“阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。
请看下集《牛顿278、欧多克斯对穷竭法的定义，翻译成数学语言；用穷竭法计算面积》”

牛顿278、欧多克斯对穷竭法的定义，翻译成数学语言；用穷竭法计算面积

穷竭法（百度百科）：…
…穷、竭（jié）、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…

相关研究
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

古希腊的安蒂丰（Antiphon 480-403BC）最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。
…安蒂丰：见《牛顿246》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…


后来，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC）改进了安蒂丰的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量。不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…欧多克斯：见《欧几里得102》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

用数学语言描述是：
…描、述、描述：见《伽利略34》…
（…《伽利略》：小说名…）

任意给定两个正的量b<a， 从a 减去λa ，1/2<λ<1，则必可找到一个整数n，使（1-λ）^n·a<b。
…λ：希腊字母表中排序第十一位的字母，大写为Λ，英语名称为Lambda…

古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。
…阿基米德：见《伽利略9~31》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…体、积、体积：见《牛顿253》…

阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。
…运、算、运算：见《欧几里得121》…

穷竭法被后人称为阿基米德原理。
…原、理、原理：见《欧几里得41》…

[阿基米德（百度百科）：…

阿基米德的数学思想中蕴涵微积分。

阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。
…模、型、模型：见《伽利略30》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…

他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…]



例如，计算y=^2与x轴在x=0和x=1之间围成的曲边三角形的面积，把底边[0，1]分成n等分，分点分别是1/n，2/n，…（n-1）/n，然后在每个分点处作底边的垂线，这样曲边三角形被分成了n个窄条。
对每个窄条，近似用矩形条替代。每个矩形的底宽1/n，高（i/n）^2（i=0，1，2，…，n-1），把这些矩形条加起来，得到S的近似Sn：
Sn=0·（1/n）+（1/n）^2·（1/n）+（2/n）^2·（1/n）+…+[（n-1）/n]2·（1/n）
=1/n^3·[n（n+1）（2n+1）/6]=1/6·（1+1/n）（2+1/n）

对每个n，都可以算出相应的Sn的值。
一方面，随着n的增大，Sn的值，越来越接近S。但另一方面，所得的Sn始终都是S的近似值。
为了得到S的精确值，使n无限制的增大。从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形。
…精、确、精确：见《牛顿25》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…

从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S。
这个数等于1/3。
当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果。

用穷竭法计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…特、殊、特殊：见《伽利略30》…
…一、般、一般：见《欧几里得125》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…一般性：见《欧几里得126》…

“16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展。
生产和技术中遇到大量问题，人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破“只研究常量”的传统范围，寻找能描述和研究运动、变化过程的新工具。
请看下集《牛顿279、促进“极限”思维发展、建立微积分的社会背景》”

牛顿279、促进“极限”思维发展、建立微积分的社会背景

极限（数学术语）：…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…术、语、术语：见《欧几里得67》…

极限的产生与发展
…发、展、发展：见《伽利略21》…
（…《伽利略》：小说名…）

（1）由来
…
古希腊人的穷竭（jié）法也蕴含了极限思想，但由于希腊人对“无限”的恐惧，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬（miù）法来完成了有关的证明。
…穷、竭、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245~278》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…归、谬、归谬，法，归谬法：见《欧几里得76》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何，直观、大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…直观：见《牛顿220》…

如此，他就在无意中“指出了‘把极限方法发展成为一个实用概念’的方向”。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…实、用、实用：见《牛顿218》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…方、向、方向：见《伽利略4》…

（2）发展
极限思想的进一步发展，是与“微积分的建立”紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展。
…主义：见《欧几里得10》…

生产和技术中遇到大量问题，人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破“只研究常量”的传统范围，寻找能描述和研究运动、变化过程的新工具。
…技、术、技术：见《欧几里得104》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…

这是促进“极限”思维发展、建立微积分的社会背景。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…社、会、社会：见《欧几里得163、164》…

起初牛顿和莱布尼茨（cí）以无穷小概念为基础建立了微积分…
…无、穷、无穷：见《牛顿136》…


小（百度百科）：小，一说象形会意字，一说象形字，一说会意字。
…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…

字形上，甲骨文中的“小”字（图A）是三颗细碎的粒状物，是“沙”字初文。
发展到金文阶段时，在“盂鼎”里出现的“小”字（图B）的形体中，三点微粒变得粗圆了；而在“令鼎”上的“小”字（图C）的形体中，三微粒中间的一点变成了一短竖。
发展到小篆（zhuàn）阶段（图D）时，篆书为了“结体方长，大小统一”的需要，而把中间的点变成长竖，左右两点变成相背的弧线。
发展到汉隶阶段（图E）时，隶书把篆书的方长形体变作方扁形体，又恢复了左右的两点，进一步发展为楷书中的“小”字。

字义上，“小”字的本义为细碎的沙尘微粒，这一形象含有三种意思：数量上表示不多，后稍变其形而用“少”字表示；质地上表示沙粒，后另加义符而用“沙”字表示；形体上表示微粒，后“小”专用来表示此义。
由此引申指微小，与大相对，甲骨文、金文中即用此义。
由微小义引申指低微、低等，又指地位低微或品质不好的人。
由低微、低等引申指轻视、小看。
由微小亦引申指年幼或年幼的人。
现代汉语中，“小”字既可单用，也可作偏旁。

最早见于甲骨文，其本义是细碎的沙尘微粒，引申为微小。
由微小义引申出低微、年幼或年幼的人等义。
又用作称自己或与自己有关的人或事的谦辞等。

小（百度汉语）2：象形。据甲骨文，象沙粒形。小篆析为会意。从八，从|。本义：细；微。与“大”相对。
…析：见《欧几里得36》…

字义：
1.指面积、体积、容量、数量、强度、力量不及一般或不及所比较的对象，与“大”相对：～雨。矮～。短～精悍。
2.范围窄，程度浅，性质不重要：～事。～节。～题大作。～打～闹。
…性、质、性质：见《欧几里得37》…

3.时间短：～坐。～住。
4.年幼小，排行最末：～孩。
5.谦辞：～弟。～可。～人（a.谦称自己，指地位低；b.指人格卑鄙的人；c.指子女；d.小孩儿）。

“一个变量在变化过程中，绝对值永远小于任意小的已定正数，即以0为极限的变量，叫做无穷小。
请看下集《牛顿280、无穷小，阶，条、件、条件，不同无穷小量收敛于0的速度不同》”

牛顿280、无穷小，阶，条、件、条件，不同无穷小量收敛于0的速度不同

极限（微积分概念）：…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

起初牛顿和莱布尼茨（cí）以无穷小概念为基础建立了微积分…
…无、穷、无穷：见《牛顿136》…
…小：见《牛顿279》…

无穷小（百度汉语）：一个变量在变化过程中，绝对值永远小于任意小的已定正数，即以0为极限的变量，叫做无穷小。
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

无穷小一般指无穷小量。（百度百科）
无穷小量（百度百科）：无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、数列等形式出现。
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…数列：见《牛顿210~213》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…

无穷小量即以0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f（x）与0无限接近，即f（x）→0[或f（x）=0]，则称f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
[“f是函数英文单词function的首字母。”中学生说。
…function：n.（名词）作用；功能；职能；机能；社交聚会；典礼；宴会；函数
v.（动词）起作用；正常工作；运转…]

定义
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

无穷小是极限为0的函数。如


是自变量x→x0，因变量极限为0的函数。此时f（x）就是x→x0的无穷小。
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]

无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。

设f在某x0的空心邻域有定义。




对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ（或正数M），使得不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞M）的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
记作：



或


…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…


…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…




性质
…性、质、性质：见《欧几里得37》…

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、0可以作为无穷小量的唯一一个常量。
…常、量、常量：见《牛顿64》…

3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
7、恒不为0的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷大

当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称f（x）为当x→x0时的无穷大。记作


同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…

阶的比较


…阶（百度百科）：形声。从阜（fù），表示与地形地势的高低上下有关，皆声。本义：台阶。

【释义】①用砖、石等砌成的分层梯级：石阶；台阶。
②用来区分高低的等级：官阶；军阶。
③引申为经由；达到…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]



…阶（百度汉语）2：1.台阶：～梯。
2.区分高低的等级：官～。音～…
…比、较、比较：见《牛顿114》…

前提条件
…前、提、前提：见《欧几里得13》…


…条（百度百科）：《说文解字》：“条，小枝也。从木、攸（yōu）声。”木自枝而出随风小击是条之范式。

本义：植物的细长枝。如：枝条、柳条儿、荆（jīng）条。
衍（yǎn）义：引申指“泛称条形的东西”。如：条子、面条儿、便条、金条、铁条。
衍义：引申指“细长的形状”。如：条形、条纹、条凳、条幅（直挂的长条字画）。苗条、身条。
衍义：引申指“项目，分项目的”。如：条例、条令、条文、条陈（ａ．分条叙述；ｂ．旧时向上级分条陈述的文件）。
衍义：引申指“层次，秩序”。如：条理、有条不紊（wěn）。
衍义：用作量词…
（…范、式、范式：见《欧几里得184》…
…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

…条（百度汉语）2：形声。从木，攸（yōu）声。本义：小枝。

字义：
1.植物的细长枝：枝～。柳～儿。荆～。
2.泛称条形的东西：～子。面～儿。便（biàn）～儿。金～。铁～。
3.细长的形状：～形。～纹。～案。～几（jī）。～凳。～幅（直挂的长条字画）。苗～。身～。
4.项目，分项目的：～例。～令。～文。～陈（ａ．分条叙述；ｂ．旧时向上级分条陈述的文件）。
5.层次，秩序：～理。有～不紊。
6.量词…

…件：见《伽利略7》…
…条件（百度百科）：事物存在、发展的影响因素；
所具备或处于的状况…
…条件（百度汉语）2：
1.影响事物发生、存在或发展的因素：自然～。创造有利～。
2.为某事而提出的要求或定出的标准：讲～。他的～太高，我无法答应。
3.状况：他身体～很好。这个工厂～好，工人素质高，设备也先进…

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛（liǎn）于0的速度有快有慢。
…收、敛、收敛：见《牛顿215》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…

因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

“！
请看下集《牛顿281、高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小》”

牛顿281、高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小

无穷小（百度汉语）：…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛（liǎn）于0的速度有快有慢。
…量：见《欧几里得27》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…收、敛、收敛：见《牛顿215》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…

因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
…阶：见《牛顿280》…

首先规定f，g都为x→x0时的无穷小，g在x0的空心邻域恒不为0。



高低阶无穷小量



，则称当x→x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。

记做f（x）=0[g（x）]（x→x0）

特别的，f为当x→x0时的无穷小量，记作f（x）=0（1）（x→x0）

同阶无穷小量

当



（c≠0）时，f和ɡ为x→x0时的同阶无穷小量。

等价无穷小量



，则称f和ɡ是当x→x0时的等价无穷小量，记做：f（x）~g（x）（x→x0）。

等价无穷小量应用最广泛，常见的有：
…应、用、应用：见《欧几里得181》…

当x→0时
sin x ~ x，tan x ~ x，In（1+x）~ x （x→0）





“若lim（β/α）=0，则称“β是比α较高阶的无穷小”。意思是在某一过程（x→x0或x→∞这类过程）中，β→0比α→0快一些。
请看下集《牛顿282、高阶无穷小；实际问题中趋向0的快慢问题》”

牛顿282、高阶无穷小；实际问题中趋向0的快慢问题

高阶无穷小（百度百科）：
…阶，无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280、281》…

若lim（β/α）=0，则称“β是比α较高阶的无穷小”。意思是在某一过程（x→x0或x→∞这类过程）中，β→0比α→0快一些。
…较：见《牛顿114》…
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]
…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…
…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…


基本概念
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

对于两个无穷小量α和β，如果lim（α/β）=0，就把α叫做比β高阶的无穷小量，并把β叫做比α低阶的无穷小量；简称α是β的高阶无穷小，β是α的低阶无穷小，记成α=0（β）。

例如，因为



所以x→0时，3x^2是比x较高阶的无穷小，意思是说在x→0 的过程中3x^2比x趋向0的速度快。
…^：乘方…
…x^2：x的平方…

概念分析
…分、析、分析：见《欧几里得36》…

在同一个变化过程中的两个无穷小，虽然同时都趋向于0，但是它们趋向于0的快慢程度有时却不一样，甚至差别很大。
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

实际问题中，有时需要讨论这种趋向0的快慢问题，举例于下：
有一块正方形的金属片，它的边长原来是3，受热后增加了Δx，问这块金属片的面积增加了多少？
…Δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…


如图所示，设加热前正方形金属片的面积为A，即A=3^2=9，加热后正方形金属片的面积为A+ΔA

即：
A+ΔA=（3+Δx）^2=9+6Δx+（Δx）^2

因此正方形金属片在加热后面积增加了ΔA：
ΔA=6Δx+（Δx）^2

这个等式的右边有两项，我们在图中看到，画有斜线的两块窄矩形的面积之和就是6Δx，而画有交叉线的一小块正方形的面积就是（Δx）^2。
…面、积、面积：见《牛顿261》…

容易看出，当Δx→0时6Δx→0，（Δx）^2→0。就是说，6Δx和（Δx）^2都是当Δx→0时的无穷小。
我们把它们趋近于0的快慢情况列表比较于下：



从表中看出，当Δx→0时，（Δx）^2趋近0比6Δx趋近0快得多。从它们的比值来看，就有



即（Δx）^2与6Δx之比也是当Δx→0时的无穷小。这时，我们就说（Δx）^2是比6Δx高阶的无穷小。

一般地，我们对两个无穷小的比较作如下规定：

设α和β都是无穷小，如果α/β →0，我们就说α是比β高阶的无穷小。
在实际问题的计算中，如果遇到几个不同阶的无穷小量之和，常常把高阶无穷小忽略不计。例如，在计算上述正方形金属片加热后的面积时，如果Δx不大，就往往略去（Δx）^2项，而得到ΔA≈6Δx。
这样，既抓住了主要矛盾，又简化了运算手续，而且在许多情况下满足了实际问题的要求。
…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…
…简、化、简化：见《牛顿33》…


…手（百度百科）：象形字。甲骨文暂未发现“手”字。
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）

西周金文（图1）的形体是一只手的正视形：上像伸开的指掌形，下像肘（zhǒu）腕形。
小篆（zhuàn）（图5）也像手形，但五指都已弯曲。
隶书（图6-7）形体已看不出手形了，中指变成最上面的一撇，食指和无名指变成一横，拇指和小指变成一长横，肘腕变成竖撇。
楷书笔画化。
（…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…）

“手”字的本义就是人手，即腕以下能拿东西做事的部分，是名词。
可以引申表示“手艺”“亲手”“拿着”等义。
“手”作左偏旁时写作“扌”。

手字初文始见于西周金文，象形字，其古字形像人的手，有五指。
手本义指人体上肢前端能拿东西的部分，人使用工具的上肢前端。
引申作动词，表示手持、用手拿着。
又引申为自己亲手做。
还引申指小巧易拿的。
又指代人。
手也作量词用，用于技能、本领。
手是汉字部首之一，序号80。
手作左偏旁时写作“扌”。用手作意符的字可以分为两类：一类是名词，指手的部分，如：拳、掌、拇、指；一类是动词，指手的动作，如握、持、打、攀。“手”与“扌”在《汉字部首表》中同属一个部首序号，但分别列部…

…手（百度汉语）2：象形。小篆字形，象伸出五指形。本义：人体上肢的总称，一般指腕以下的部分。

字义：
1.人体上肢前端能拿东西的部分。
2.小巧而便于拿的：～册。～枪。
3.拿着：人～一册。
4.做某种工作或有某种技能的人：炮～。拖拉机～。能～。选～。
5.亲手：～书。
6.指本领、手段等：妙～回春。眼高～低。心狠～辣…

…续：见《欧几里得44》…

…手续（百度百科）：办事的规定步骤；办事的程序…
…手续（百度汉语）2：（办事的）程序：报名～。借款～。办理转学～…

“为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在、或为无穷大时，给出下面的比较定义。
请看下集《牛顿283、无穷小等价替换定理；用泰勒展开式推导等价无穷小公式》”

牛顿283、无穷小等价替换定理；用泰勒展开式推导等价无穷小公式

低阶无穷小（百度百科）：…
…阶，无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280、281》…

称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如x^2-4在x→2时是无穷小量，而不能笼统说x^2-4是无穷小量。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…量：见《欧几里得27》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…^：乘方…
…x^2：x的平方…

无穷小的比较
…比、较、比较：见《牛顿114》…

观察无穷小比值的极限：
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…


…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]

两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于0的“快慢”程度。
…反、映、反映：见《欧几里得22》…

在x→0 的过程中，x^2→0 比 3x→0 “快些”，反过来，3x→0比x^2→0 “慢些”，而sin x→0与x→0“快慢相仿”。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在、或为无穷大时，给出下面的比较定义。
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

定义，设α及β都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。
…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…
…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…



如果Iim（β/α）=0，就说β是比α高阶的无穷小，记为β=0（α）；

如果Iim（β/α）= ∞，就说β是比α低阶的无穷小；
如果Iim（β/α）= c≠0，就说β与α是同阶无穷小；
如果Iim（β/α）= 1，就说β与α是等阶无穷小，记为β~α；


同阶无穷小（百度百科）：…

同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。
…速、度、速度：见《伽利略3》…

例如：
计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小。



例如，因为


所以，在 x→3 的过程中，x^2-9 与 x-3是同阶无穷小。意思是在x→3的过程中，（x^2-9）→0与（x-3）→0的快慢一样。


等价无穷小（百度百科）：…

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于0的速度是相等的。

等价无穷小替换，是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…
…简：见《欧几里得77》…

求极限时，使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。





公式
…公：见《欧几里得1》…
…式、公式：见《欧几里得132》…



注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
…推、导、推导：见《欧几里得7》…







“牛顿用“路程的改变量ΔS”与“时间的改变量Δt”之比“ΔS/Δt”表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于0，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
请看下集《牛顿284、导数又名微商，是微积分中的重要基础概念》”

牛顿284、导数又名微商，是微积分中的重要基础概念

等价无穷小（百度百科）：…
…阶，无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280~283》…

极限
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
（…《欧几里得》：小说名…）

数学分析的基础概念。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势、以及所趋向的数值（极限值）。
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念（连续、微分、积分和级数）都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…

所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及“分析的理论、和计算是否可靠”的根本问题。
…精、确、精确：见《牛顿25》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…必要：不可缺少；非这样不行…
…根、本、根本：见《欧几里得57》…

历史上是柯西（Cauchy，A.-L.）首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“（极限）当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”（《分析教程》，1821），这个定值就称为这个变量的极限。
…历、史、历史：见《欧几里得111》…
…柯西：见《牛顿266》…
…一、般、一般：见《欧几里得125》…

其后，魏尔斯特拉斯[Weierstrass，K.（T.W.）]按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义。
…魏尔斯特拉斯：见《牛顿234》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
…量：见《欧几里得27》…



从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。
…准、则、准则：见《牛顿75》…

在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性。

……
极限（微积分概念）（百度百科）：…

起初牛顿和莱布尼茨（cí）以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

牛顿用“路程的改变量ΔS”与“时间的改变量Δt”之比“ΔS/Δt”表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于0，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
…导：见《欧几里得7》…

导数（百度百科）：
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。
…derivative（英语）：n.（名词）派生词；衍（yǎn）生物；衍生字；派生物。
adj.（形容词）模仿他人的；缺乏独创性的…
[…生：见《伽利略28》…
…衍、衍生：见《富田兴合苑业主的大事小事7》…
（…《富田兴合苑业主的大事小事》：小说名…）

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。
——《牛顿3》]
…微：见《牛顿3》…


…商（百度百科）：学术界对于甲骨文（图1、2）的“商”字的解释看法不统一。《说文解字》：“从外知内也。”清王筠（jūn）《说文句读》云：“谓由外以测其内也”，许慎（shèn）认为商的本义是揣测、估量。

有人认为甲骨文中的商字像燕子之形，本义为燕子。在殷人的祖源传说中，他们的始祖契（xiè）是其母简狄吞燕卵而生的。这一传说在《诗经·商颂·玄鸟》中就有记载：“天命玄鸟，降而生商。”《说文》中也说“燕，玄鸟也”，可知玄鸟就是燕子。由于殷人自认为是燕子的后代，故以燕子义的商作为他们的族称。
有人说将甲骨文中的商字解释为燕子很牵强，而且在古代文献中也找不到商有燕子义的证据。所以这一说法难以令人信从。
（…证、据、证据：见《欧几里得57》…）

有人认为商的本义为殷人的族称。商字上部的跟甲骨文凤字（图A）的上部相同，是凤凰的鸟冠，商字中以此作为凤凰的代表。
殷人崇拜凤，故族称之字由凤构成。下部的“冏（jiǒng）”像穴居之形，象征殷人的居住地。

有人认为商的本义为商星，商星即二十八宿中的心宿，又叫辰星、大火星。是殷人崇拜的星神。
甲骨文中的商字像一个底座上插放着火把的形状，殷人祭祀（sì）大火星时以此作为大火星的象征。在有的商字中还点缀了两个或四个星星（如图10），表意尤为明显。
殷人崇拜商星，故以商星名其族，进而又名其朝代。

商的经商之义是如何产生的，徐中舒在《殷周文化蠡（lí）测》一文中指出：“殷亡以后，商人土田为周人所夺，故多转而为商贾（gǔ），商贾名称当由此起。”古代商务大都采取以物易物的实物交换方式，实物交换须对双方的物品价值作出评估，所以商又有估量、商量的意思。

始见于商代甲骨文及商代金文，本义不明，甲骨卜辞中都用作人名或地名，金文后来假借为国“殷商”。
商的常用义是相互之间交流看法、观点，也引申指贸易，再转指从事贸易的人。
商又是五音之一，也是星宿名。
商还指数学中除法运算的得数…

…商（百度汉语）2：本义：计算，估量。

字义：
1.商量：协～。
2.商业：经～。
3.商人：行～。
4.除法所得的结果：8除以2的～是4。
5.朝代名（约前1600—前1046）。汤灭夏后建立。建都亳（bó，今河南商丘），国号商。以后多次迁都，至盘庚迁都殷（今河南安阳小屯一带），故商朝又称殷朝，也称殷商。传到纣，为周所灭。
6.古代五音[宫、商、角、徵（zhǐ）、羽]之一。相当于简谱的“2”…
…商（数学术语）3：是一种数学术语，公式是：（被除数-余数）÷除数=商，记作：被除数÷除数=商……余数。
（…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

在一个除法算式里，被除数、余数、除数和商的关系为：（被除数-余数）÷除数=商，记作：被除数÷除数=商……余数，进而推导得出：商×除数+余数=被除数。
（…推、导、推导：见《欧几里得7》…）

完全商
当数a除以数b（非0）能除得尽时，这时的商叫完全商。如:9÷3=3，3就是完全商。

不完全商
如果数a除以数b（非零）除不尽，得到的商就是不完全商。如：10÷3=3……1，这里的3就是不完全商…

““除”的本义是台阶，也与地势起伏有关。
请看下集《牛顿285、除和除以有区别吗？》”

牛顿285、除和除以有区别吗？


除（百度百科）：“除”是形声字。在石鼓文中（图A）“除”字的左边是一个“阜（fù）”字表形，表形右边是一个“余”字表音。
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]

“阜”的古字形像阶梯，后引申为“山丘”之义。
用“阜”作形旁的字，大都与地势、建筑有关，“除”的本义是台阶，也与地势起伏有关。
到了篆（zhuàn）文（图1、2）的时候，“除”字依然是由“阜”和“余”两部分构成，但是左边的“阜”字相对于石鼓文中的“阜”字略有些拉长。
隶书中的“除”字与现代写法相一致。

“除”的本义是台阶，人拾阶而上，每步都离旧登新，所以“除”又引申出“去旧更新”的意思来。
《左传·昭公17年》有句话：“彗，所以除旧布新也。”意思是说，笤（tiáo）帚（zhǒu）是扫除尘土、带来清洁的东西。
以后，“除旧布新”就有了革除、更新的意思。

除，还由“去旧”的意思引申出“过去”和“尽”的意思。如《诗经·唐风·蟋蟀》中说：“今我不乐，日月其除。”意思是说，今天我们不及时行乐，岁月将如流水过去。
农历12月的最后一天称为除，这一大晚上称为除夕、除夜。
“除”由除旧的意思又引申出迎新的意思。
古代，拜官及授予新的官职，也叫“除”。
唐代学者颜师古说：“凡言除者，除故官就新官也。”

始见于春秋战国时代的《石鼓文》，古字形从阜、余声。
“除”的本义一般认为是宫殿的台阶，泛指台阶。又指去掉、不计算在内、不包括在内。在中国古代，把担任新职离开旧职称为“除”，后授官也称为“除”。在算术中，除又指一种运算方法。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

除（百度汉语）2：形声。从阜，余声。从“阜”，表示与地形地势的高低上下有关。本义：宫殿的台阶。

字义：
1.去掉：根～。铲～。为民～害。
2.表示不计算在内：这篇文章～附表外只有3000字。～一人因病请假以外，全体代表都已报到。
3.进行除法运算，如2除6得3。
4.授；拜（官职）。
5.台阶：庭～。阶～。


除和除以有区别吗？——网友提问

2021-01-19，在水一方611521：有区别。
除和除以时常在除法运算中出现，它表示的是除法算式的两种不同读法。“除”，表示除数除被除数；“除以”，表示被除数除以除数。

“以”字的意思就是“用”“拿”。比如：8÷2=4，这道除法题用“除和除以”可以描述为“2除8等于4”或者“8除以2等于4”。
“除”，是除数在前，被除数在后；例如2除6，就是用2来分6的意思。“除以”，是被除数在前，除数在后；例如6除以2，就是6被2分的意思。
[“6除 以（用）2”中学生说，“中间断开一下读，意思就容易理解了。”]

2019-11-23，谷菊桂茶：除就是除法的颠倒。
“除”和“除以”只是读法不同，而写法是相同的。例如：
10/2=5可以读成“10除以2等于5”，也可读成“2除10等于5”。

2019-11-20，盛曼华郁娴：打个比方吧，比方说4除以2，那么可以表达为2去除4，也可以说4除以2啊。

2020-02-14，苏秀梅祁（qí）香：如果从脑筋急转弯的角度来说，有这样的答案。多一个字。一个爽别人，一个爽自己。
从科学的角度来看是这样的。除是拿另一个数除这个要除的数。就比如说5除3就是3/5，除以就是正常的顺序。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…

“小学阶段，我们严格区分“除以”和“除”。
但是，讽刺的是：
随后的初中//高中//大学，老师和学生，迅速地将“除以”和“除”混用，让我们当初的坚持变得毫无意义。
请看下集《牛顿286、迅速将“除以”和“除”混用，让我们当初的坚持变得毫无意义》”

牛顿268、《圆锥曲线论》将圆锥曲线性质网罗殆尽，使后人没有插足余地

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：法国律师和业余数学家。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

…
个人成就

对解析几何的贡献
…解、析、解析，几、何、几何，解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…

费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…

1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。


阿波罗尼奥斯（英文：Apollonius of Perga，生卒年：约公元前262～190年）：古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。
…欧几里得（约公元前330年～公元前275年）：见《欧几里得148~155》…
…阿基米德：见《伽利略9~31》…
（…《伽利略》：小说名…）

他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他将圆锥曲线的性质网罗殆（dài）尽，几乎使后人没有插足的余地。
…论：见《欧几里得3》…
…世、界、世界：见《欧几里得110》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…性、质、性质：见《欧几里得37》…




《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。
直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破。
《圆锥曲线论》共8卷，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。
此书集前人之大成，且提出很多新的性质。
他推广了梅内克缪斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线等名称。
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…双曲线（百度汉语）：如果平面内一个动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定长，那么这个动点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两个焦点间的距离叫做焦距…



书中已有坐标制思想。



…坐（百度百科）：甲骨文的“坐”，就是人在席上跪跽（jì）的形状。
[…跽：长跪。古人坐时臀（tún）部贴脚后跟。臀部离开脚后跟，腰伸直，就是跽…
…形、状、形状：见《欧几里得23》…]

金文将席子改为“土”，又增一人形。演变为人们在荒郊野外时，坐在土块或台阶上休息的情景，又扩展为在室内凭几而坐。

会意字。表示两个人对坐在土上的意义。
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…）

本义是人的止息方式之一，即坐下。
由坐，引申为席位、座位，后写作“座”；
又由“座”引申为座位上的人；
由指座位上的人引伸为法庭辩讼；
由法庭辩讼引伸为由……而获罪，定罪；
由指座位上的人引申主持、掌管；
由主持、掌管引伸为守、留守；
由守、留守引伸为居住；
由留守引伸为放置；
由放置反向引伸为移动；
由移动引伸为搭、乘。

坐字最早形态出现在甲骨文中。
本义是指人的止息方式之一，后引申为就坐、留守、座位，因……而定罪、因为等…
（…方、式、方式：见《欧几里得57》…）

…坐（百度汉语）2：会意。《说文》古文作象形字，象两人坐在土上。
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）

本义：人的止息方式之一。古人席地而坐，坐时两膝着地，臀部压在脚跟上。

字义：
1.把臀部放在椅子、凳子或其他物体上，支持身体重量：请～。咱们～下来谈。他～在河边钓鱼。稳～江山。
2.乘；搭：～船。～火车。
3.（房屋）背对着某一方向：这座大楼是～北朝南的。
4.（～儿）同“座”。
5.因……犯罪，触犯法律。
6.枪炮由于反作用而向后移动；建筑物由于基础不稳固而下沉：步枪的～劲儿不小。这房子向后～了。
（…基、础、基础：见《欧几里得37》…）

7.指定罪：连～…

“韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数，带来了代数学理论研究的重大进步。
请看下集《牛顿269、使用字母表示已知数、未知数，带来代数学-理论研究重大进步》”

牛顿269、使用字母表示已知数、未知数，带来代数学-理论研究重大进步

阿波罗尼奥斯[英文：Apollonius of Perga，生卒（zú）年：约公元前262～190年]：…
…阿波罗尼奥斯：见《牛顿268》…
…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…
（…《欧几里得》：小说名…）

《圆锥曲线论》中已有坐标制思想。
…论：见《欧几里得3》…
…《圆锥曲线论》：见《牛顿268》…
…坐：见《牛顿268》…
…标：见《欧几里得64》…
…坐标（数学名词）：指为确定天球上某一点的位置，在天球上建立的球面坐标系…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…位、置、位置：见《伽利略10》…
…系：见《欧几里得25》…）

…坐标（数学汉语）2：能够确定一个点在空间的位置的一个或一组数，叫做这个点的坐标。
（…空、间、空间：见《伽利略10》…）

通常由这个点到垂直相交的若干条固定的直线的距离来表示。
这些直线叫做坐标轴。
坐标轴的数目在平面上为2，在空间里为3…

…制：见《牛顿59》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…






他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…



他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。
…解、释、解释：见《欧几里得56》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）
…模、型、模型：见《伽利略30》…
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…


……
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：法国律师和业余数学家。

…
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…学：见《欧几里得4》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰（zhuàn）写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…总、结、总结：见《欧几里得86》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…撰：见《伽利略34》…

平面与立体轨迹引论（百度百科）：
平面与立体轨迹引论（Ad Locos Planos et soli-dos isagoge），17世纪数学著作。
法国数学家费马（Fermat , P. de）著。大约写于1629年，但直到1679年才出版。
该著作使费马与笛卡儿（Descartes，R.）分享了解析几何创立者的盛誉。
…解、析、解析，几、何、几何，解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…

费马的数学工作继承了韦达（Viete，F.）的传统…
…工、作、工作：见《伽利略22》…
…韦达一般指弗朗索瓦·韦达…


弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540－1603）：1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
…学、习、学习：见《牛顿160》…
…法、律、法律：见《欧几里得159》…
…政、治、政治：见《牛顿86》…

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数，带来了代数学理论研究的重大进步。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

“正常人体需要一个稳定的内在环境，保持正常的体温，维持细胞内水与盐分的适当平衡等。
当这些平衡发生变异或者破坏时，人体内的一些调节机制会自动地进行校正。
但这样的行为还不算是动机。只有当需要推动人们去活动，并把活动引向某一目标时，需要才成为人的动机。
请看下集《牛顿270、动、机、动机，动机与需要，动机与目标》”

牛顿270、动、机、动机，动机与需要，动机与目标

平面与立体轨迹引论（百度百科）：…

费马的数学工作继承了韦达（Viete, F.）的传统，但他更进一步试图将代数与几何研究结合起来。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…工、作、工作：见《伽利略22》…
（…《伽利略》：小说名…）
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

《平面与立体轨迹引论》写作的直接动机是试图恢复阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》的内容。
…直、接、直接：见《欧几里得34》…
…动：见《欧几里得23》…
…机：见《欧几里得28》…

动机（百度百科）：动机是激发和维持有机体的行动，并将使行动导向某一目标的心理倾向或内部驱力。
…有、机、有机，体，有机体：见《牛顿59》…
…行、动、行动：见《伽利略23》…
…目、标、目标：见《伽利略19、20》…
…心、理、心理：见《牛顿86》…

动机被认为是决定行为的内在动力。
…动、力、动力：见《伽利略52》…

动机具有三方面功能：
…功、能、功能：见《伽利略44》…

（1）激发功能
激发个体产生某种行为。
…行、为、行为：见《欧几里得197》…

（2）指向功能
使个体的行为指向一定目标。
（3）维持和调节功能
使个体的行为维持一定的时间，并调节行为的强度和方向。

动机与需要
动机是在需要的基础上产生的。
…基、础、基础：见《欧几里得37》…

当人的某种需要没有得到满足时，它会推动人去寻找满足需要的对象，从而产生活动的动机。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…

例如，正常人体需要一个稳定的内在环境，保持正常的体温，维持细胞内水与盐分的适当平衡等。
当这些平衡发生变异或者破坏时，人体内的一些调节机制会自动地进行校正。
但这样的行为还不算是动机。只有当需要推动人们去活动，并把活动引向某一目标时，需要才成为人的动机。

动机与目标
目标是个体努力要达到的具体成绩标准或结果，是个体期望的未来状态。
…标、准、标准：见《牛顿15》…
…结、果、结果：见《牛顿105》…
…状、态、状态：见《伽利略42》…

动机必须有目标，目标引导个体行为的方向，并且提供原动力。

动机的作用
…作、用、作用：见《欧几里得68》…

1、动机是在目标或对象的引导下，激发和维持个体活动的内在心理过程或内部动力。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

动机是一种内部心理过程，不能直接观察，但是可以通过任务选择、努力程度、活动的坚持性和言语表示等行为进行推断。
…观、察、观察：见《牛顿164》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

动机要求活动，活动促使个体达到他们的目标。

2、动机具有激活、指向、维持和调整功能。
动机是个体能动性的一个主要方面，它具有发动行为的作用，能推动个体产生某种活动，使个体从静止状态转向活动状态。
同时它还能将行为指向一定的对象或目标。
当个体活动由于动机激发而产生后，能否坚持活动同样受到动机的调节和支配。

动机（百度汉语）2：推动人从事某种行为的念头：～好，方法不对头，也会把事办坏。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…对：见《欧几里得39》…


“17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望重的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁。
请看下集《牛顿271、有定期学术刊物之前的科学信息交换站——马林·梅森》”