牛顿290、导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率

斜率（百度百科）：斜率，数学、几何学名词，表示一条直线关于横坐标轴倾斜程度的量。
…斜、率，数、学、数学，几、何、几何，量：见《牛顿289》…

它通常用直线与横坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。
…正、切、正切：见《牛顿289》…
（…《伽利略》：小说名…）
…比：见《欧几里得27》…




斜率是一条直线和横坐标轴正向夹角的正切，反映直线对水平面的倾斜度。
…反、映、反映：见《欧几里得22》…

一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的正切值，即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故此直线不存在斜率（也可以说直线的斜率为无穷大）。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像的斜率。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…






定义
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

直线对x轴的倾斜角α的正切值tanα，称为该直线的“斜率”，记作k，公式为k=tanα。
规定平行于x轴的直线的斜率为0，平行于y轴的直线的斜率不存在。



对于过两个已知点（x1，y1）和（x2，y2）的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为k=（y1-y2）/（x1-x2）。
即



从导数视角认识斜率，这里实际上就是直线纵坐标随横坐标的瞬时变化率。
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…率：见《欧几里得58》…



坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线（即x轴的垂线）没有斜率。
在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率、分情况进行讨论。
…学、习、学习：见《牛顿160》…

曲线斜率

曲线上某点的斜率，反映了此曲线的变量在此点处变化的快慢程度。
…反、映、反映：见《欧几里得22》…

曲线的变化趋势，可以用过曲线上一点的切线的斜率（即导数）来描述。
…描、述、描述：见《伽利略34》…

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…
…切、线、切线：见《牛顿288》…

当f'（x）>0时，函数在该区间内单调递增，曲线呈向上的趋势；当f'（x）<0时，函数在该区间内单调减，曲线呈向下的趋势。











斜率（百度汉语）2：一条射线和水平线的交角的正切。用以表示该射线对水平线的倾斜程度。

“导数的本质，是通过极限的概念，对函数进行局部的线性逼近（见《牛顿288》）。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
请看下集《牛顿291、导数的本质，是通过极限的概念，对函数进行局部的线性逼近》”

牛顿291、导数的本质，是通过极限的概念，对函数进行局部的线性逼近

导数（百度百科）：…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

导数的本质，是通过极限的概念，对函数进行局部的线性逼近（见《牛顿288》）。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…学、运动学：见《伽利略37》…
（…《伽利略》：小说名…）
…物、体、物体：见《伽利略9》…
…时、间、时间：见《伽利略10》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…



不是所有函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f（x），x↦f'（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）。
寻找已知函数在某点的导数（或其导函数）的过程称为求导。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
（291极限四则运算法则）

反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。



微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。



求导和积分是一对互逆操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

历史
…历、史、历史：见《欧几里得111》…

起源
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f'（A）。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…费马：见《牛顿267~269》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

发展

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨（cí）等从不同的角度开始系统地研究微积分。
…自、然、自然：见《欧几里得128》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…自然科学：见《欧几里得159》…
…技、术、技术：见《欧几里得104》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…

牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…率：见《欧几里得58》…

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》。
…方、程、方程：见《伽利略53》…
…无、穷、无穷：见《牛顿136》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…

流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数，而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比、当变化趋于0时的极限。

“19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重新表达。
请看下集《牛顿292、导数的定义，导函数》”

牛顿292、导数的定义，导函数

导数（百度百科）：…
…导、数、导数：见《牛顿288~291》…

1750年，达朗贝尔在为法国科学院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中，提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：



…达朗贝尔（1717～1783）：法国著名的物理学家、数学家和天文学家…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…百科全书：见《牛顿1》…
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…
…简、单、简单：见《伽利略13》…
（…《伽利略》：小说名…）

1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。
…柯西：见《牛顿266》…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280~283》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（“这段话我没理解。”中学生说。
“可能是我理解力不够，也可能是没翻译清楚，也可能是柯西先生没说清楚。”中学生最后说。）

19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重新表达。
…魏尔斯特拉斯：见《牛顿234》…
…创、造、创造：见《欧几里得152》…
…语、言、语言：见《欧几里得160》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…



微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一种是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限理论，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…实无限和潜无限：见《牛顿209》…
…意、识、意识，形、态、形态，意识形态：见《牛顿109》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

就数学历史来看，两种理论都有一定的道理，实无限就使用了150年。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…历、史、历史：见《欧几里得111》…

定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；
如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作



…比：见《欧几里得27》…

即：



需要指出的是：


两者在数学上是等价的。

导函数

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
导数是微积分的一个重要支柱。牛顿及莱布尼茨（cí）对此做出了贡献。

几何意义
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

“单调：
只有一种的、或重复而缺少变化：色彩单调；形式单调；单调的生活。
请看下集《牛顿293、单、调、单调，函数单调性与导数》”

牛顿293、单、调、单调，函数单调性与导数

导数（百度百科）：…
…导、数、导数：见《牛顿288~292》…

导数与函数的性质
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…性、质、性质：见《欧几里得37》…

单调性
…单：见《欧几里得116》…
…调：见《牛顿35》…
…单调（百度百科）：指单一；重复而缺少变化。

只有一种的、或重复而缺少变化：色彩单调；形式单调；单调的生活…
（…形、式、形式：见《欧几里得13》…）

…单调（百度汉语）2：简单、重复而没有变化：色彩～。样式～。只做一种游戏，未免～。
[…简、单、简单：见《伽利略13》…
（…《伽利略》：小说名…）
…变、化、变化：见《伽利略10》…]

词义：
1、简单、重复，缺少变化。
2、指单一而不丰富…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

（1）若导数大于0，则单调递增；若导数小于0，则单调递减；导数等于0为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。






[函数的导数值就是切线的斜率。
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…]

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于0；若已知函数为递减函数，则导数小于等于0。


根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于0（或恒小于0），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。
导函数等于0的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。
对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于0，而在之后区间上都小于等于0，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。



“物理学、几何学等学科中的一些重要概念可以用导数表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率。
请看下集《牛顿294、物理、几何等学科中的一些概念可以用导数表示》”

牛顿294、物理、几何等学科中的一些概念可以用导数表示

导数（百度百科）：…
…导、数、导数：见《牛顿288~293》…

应用
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
（…《欧几里得》：小说名…）

导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…代、数、代数：见《欧几里得36》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…率：见《欧几里得58》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…
…加、加速度：见《伽利略3、4》…

导数亦名微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
…微、商、微商：见《牛顿284》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…矢、量、矢量：见《伽利略4》…
…方、向、方向：见《伽利略4》…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：s=f（t）
…反、映、反映：见《欧几里得22》…

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：
…时、间、时间：见《伽利略10》…


当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…


这就是通常所说的速度。
这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）。
…类、比、类比：见《牛顿39》…

导数另一个定义：当x=x0时，f'（x0）是一个确定的数。这样，当x变化时，f'（x）便是x的一个函数，我们称它为f（x）（关于x）的导函数（derivative function），简称导数。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…

物理学、几何学等学科中的一些重要概念可以用导数表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率。
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…物、体、物体：见《伽利略9》…
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

注意：导数为0的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点，但导数为0。




求导方法（定义法）：
①求函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；
②求平均变化率；
③取极限，得导数。


切线和导数的区别？——网友提问
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…导、数、导数：见《牛顿288~295》…

2013-08-12，寻山人：切线是经过函数曲线一点，且和该曲线相切（和该点法线垂直）的一条直线。而导数等于切线在该点的斜率，它是一个极限概念。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…


“点有切线”和“这点导数存在”有什么关系？——网友提问
…关、系、关系：见《欧几里得75》…

2017-03-24，善言而不辩：这点导数存在，这点一定有切线；
这点切线存在，这点未必有导数存在（切线为x=a时，a为常数）
…常、数、常数：见《欧几里得132》…



“人们认为，如果它不是0，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢？
当时人们不理解，想完全没有一点点误差地、进行变量的计算、而导致人们认为发生悖（bèi）论，这就是（数学史上所说的）无穷小悖论产生的原因。
请看下集《牛顿295、牛顿的极限观念建立在几何直观上，因而无法得出极限的严格表述》”

牛顿295、牛顿的极限观念建立在几何直观上，因而无法得出极限的严格表述

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

牛顿用“路程的改变量ΔS”与“时间的改变量Δt”之比“ΔS/Δt”表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于0，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
…时、间、时间：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）

…比：见《欧几里得27》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…物、体、物体：见《伽利略9》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量、和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。
但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…直观：见《牛顿220》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…

牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…语、言、语言：见《欧几里得160》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击。例如，物理学的“瞬时速度”概念，究竟Δt（变化量）是否等于0？（因为“真理如果被无限扩大其适用范围”也会变为错误）
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…量：见《欧几里得27》…
…真、理、真理：见《欧几里得43》…
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
…错、误、错误：见《欧几里得193》…

如果说是0：怎么能用它去作除法呢？（其实变化量不可能为0）。
…除、除法：见《牛顿285~287》…

但是人们认为，如果它不是0，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢？
…函、数、函数：见《欧几里得52》…

当时人们不理解，想完全没有一点点误差地、进行变量的计算、而导致人们认为发生悖（bèi）论，这就是（数学史上所说的）无穷小悖论产生的原因。
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…悖、论、悖论：见《欧几里得27》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…史：见《欧几里得111》…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280~283》…

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。科学发展的历史表明他的观点是错的。
…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…推、导、推导：见《欧几里得7》…
…诡辩：见《欧几里得165》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…
…历、史、历史：见《欧几里得111》…
…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连名人牛顿也无法摆脱“极限概念”中的混乱。
…基、础、基础：见《欧几里得37》…


这个事实表明，弄清“极限”概念（它是一个“动态量的无限变化过程”，微小的变量趋势、方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量），是建立严格的微积分理论的基础。
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…方、向、方向：见《伽利略4》…
…精、密、精密：见《牛顿129》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…

“在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。
这是因为：数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维、分析问题。
请看下集《牛顿296、人们习惯于用不变化的常量去思维、分析问题》”

牛顿296、人们习惯于用不变化的常量去思维、分析问题

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~295》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

（3）完善
极限思想的完善，与微积分严格化联系密切。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…
…联、系、联系：见《欧几里得149》…

在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…

这是因为：数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维、分析问题；
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）

…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…

对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；
…特：见《欧几里得23》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；
对“有限”和“无限”的关系还不明确。
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…

这样，人们使用“习惯的、处理常量数学的传统思想方法”，思想僵化，就不能适应“变量数学”的新发展。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…

人们用旧概念常量，说明不了“‘0’与‘无限靠近0的非零数值’之间可以人为的微小距离，跳跃到相等”的结论。
…结、论、结论：见《欧几里得66》…

到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。
…罗宾斯：网上没查到…
…达朗贝尔（1717～1783）：法国著名的物理学家、数学家和天文学家…
…罗依里埃：网上也没查到…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

其中达朗贝尔的定义是“1个量是另1个量的极限，假如第2个量比任意给定的值更为接近第1个量”。其描述的内涵接近于极限的正确定义。然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。
…量：见《欧几里得27》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…内、涵、内涵：见《欧几里得101》…
…正、确、正确：见《欧几里得13》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…直观：见《牛顿220》…

观点也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分建立在几何量的概念上。
…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…

其实，“具象化”不是思维落后的代名词。
…具：见《欧几里得162》…
…象：见《欧几里得20》…
…具象（百度百科）：作形容词时意思是具体的，不抽象的；作名词时，意思是具体的形象…
（…具、体、具体：见《牛顿123》…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…形、象、形象：见《欧几里得23》…）

…具象（百度汉语）2：1.具体的；不抽象的：这幅作品过于～。
2.具体的形象…
…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…

对几何直观的研究，不是思维落后的代名词，因为在今天仍然可以把函数映射为图形，来研究较为复杂的趋势问题。
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…映、射、映射：见《欧几里得52》…
…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…

如果有趋势，则极限概念能够成立。
例如，具象化图形代替函数，可直观地证明某一个没有规律可描述的、久攻不下的命题不能成立（或另外一个函数能够成立）； 再分别作具体的“符号方式”的数学证明。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…
…方、式、方式：见《欧几里得57》…


“柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似0不是0，却可以‘人为用等于0处理’的办法”，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于0，但它变化的趋向是向“0”，可以无限地接近0。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。
请看下集《牛顿297、柯西的叙述中存在描述性词语：无限趋近；要多小就多小》”

牛顿297、柯西的叙述中存在描述性词语：无限趋近；要多小就多小

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~296》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

首先用极限概念给出“导数”的正确定义的是捷克数学家波尔查诺（1781.10.5—1848.12.18），他把函数f（x）的导数定义为差商△y/△x的极限f'（x），他强调指出f'（x）不是两个0的商。
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…正、确、正确：见《欧几里得13》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…家：见《欧几里得92》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
[△（希腊字母）：希腊字母中的一个大写字母，其小写形式为δ。
△的读音是“德尔塔”。音标中为/deltə/。

△（物理学用语）2：△是一个物理学用语。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等。
又如：在物理学的热学中，物体在吸热或者放热时吸收或放出的热量的计算公式为Q=cm△T（c表示物质的比热容，m表示物质的质量，△T表示温度的变化，即温度变化量的绝对值:△T=|T1-T0|）…
——《牛顿8》]



波尔查诺的思想是有价值的，但关于“极限的本质”他仍未描述清楚。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
（…《伽利略》：小说名…）

到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了“极限概念”及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。
…柯西：见《牛顿266》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…阐、述、阐述：见《欧几里得153》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…无、限、无限：见《牛顿202》…

特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛（liǎn）到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
…收、敛、收敛：见《牛顿215》…
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似0不是0，却可以‘人为用等于0处理’的办法”，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于0，但它变化的趋向是向“0”，可以无限地接近0。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…错、误、错误：见《欧几里得193》…
…结、果、结果：见《牛顿105》…

柯西试图消除极限概念中的几何直观，（但是“几何直观”不是消极的东西，我们研究函数时也可以发挥想像力——“动态趋势的变量图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变量值‘重合于0’”，所以用不等式表示会更加“明确”）作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…直观：见《牛顿220》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…

但柯西的叙述中还存在描述性词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”。
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

比较通俗易懂的描述，对于概念的理解比较容易，因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹。
…理、解、理解：见《欧几里得58》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…

一分为二，直观痕迹比较多也有好处，但是结合下面的抽象定义可更加容易理解“极限”概念。
…下面的抽象定义：见下集…

“为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓xn→x，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。
请看下集《牛顿298、“静态——动态——静态”螺旋式上升演变，反映了数学发展规律》”

牛顿298、“静态——动态——静态”螺旋式上升演变，反映了数学发展规律

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~296》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓xn→x，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成立”。
…直观：见《牛顿220》…
…魏尔斯特拉斯：见《牛顿234》…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…


这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…具、体、具体：见《牛顿123》…
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…论、证、论证：见《欧几里得149》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…

在该定义中，涉及到的仅仅是“数及其大小关系”，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。（但是理解“极限”概念不能够抛弃“运动趋势”去理解，否则容易导致把常量概念不科学地带进微积分领域）
…运、动、运动：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）
…直观：见《牛顿220》…
…理、解、理解：见《欧几里得58》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…

常量可理解为“不变化的量”。微积分问世前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世后，考虑“变化量”的运动思维方式进入了数学领域，人们就用数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…方、式、方式：见《欧几里得57》…
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…事、物、事物：见《欧几里得21》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…

之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义描述变量的变化趋势。
…语、言、语言：见《欧几里得160》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…变、量、变量：见《欧几里得29》…

这种“静态——动态——静态”螺旋式上升演变，反映了数学发展的规律。
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…

“极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系。
借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
请看下集《牛顿299、极限思想的思维功能》”

牛顿299、极限思想的思维功能

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~296》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

极限思想的思维功能
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…功、能、功能：见《伽利略44》…
（…《伽利略》：小说名…）

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系。
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…
…无、限、无限：见《牛顿202》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
…认、识、认识：见《欧几里得51》…
…精、确、精确：见《牛顿25》…


“无限”与“有限”概念本质不同，但是二者又有联系。“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的、千变万化的事物的“量”的映射。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…客、观、客观：见《欧几里得43》…
…事、物、事物：见《欧几里得21》…
…映、射、映射：见《欧几里得52》…

符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部。
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…


“变”与“不变”反映了事物运动变化，是两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…状、态、状态：见《伽利略42》…
…条、件、条件：见《牛顿280》…
…速、度、速度：见《伽利略3》…

为此，人们先在小的时间间隔范围内，用【“匀速”计算方法，代替“变速”状态的计算】，求其平均速度。
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

把较小的时间内的瞬时速度，定义为求“速度的极限”，是借助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。
…时、间、时间：见《伽利略10》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…精、密、精密：见《牛顿129》…
…结、果、结果：见《牛顿105》…

曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种关系，是处理数学问题的重要手段之一。
…手段：见《牛顿185》…

用直线构成的图形的面积易求；但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能准确解决的。

古人刘徽（huī）用“圆内接多边形逼近圆面积”（见《牛顿244》）；人们用“变形为矩形的面积”来逼近曲边梯形的面积，等等，都是借助极限的思想方法，从直线形起步来认识曲线形问题，最终解决曲线形问题的。
…面、积、面积：见《牛顿261》…
…认、识、认识：见《欧几里得51》…


无限逼近“真实值”（结论完全没有误差）思想，在数学研究工作中起重要作用。例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。
人们不断地让其边数加倍增加，经过无限过程之后，多边形就“变”成一个与真实圆面积相差不大的“假圆”。
每一步“边数增加的变化”都可以使用原来的常量公式累计，得到越来越靠近真实值的“圆面积”。
变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形，其长边的总和的极限等于“圆周长的一半”，与半径的乘积计算得到圆面积（就是极限概念的应用）。
趋势极限，越来越逼近圆面积。这就是借助极限思想方法，化繁为简解决求圆面积问题。
其他问题思维方法也一样。



“用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用低等数学思维的常量思维建立某一个函数（计算公式），再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变量的极限求出，就可以解决问题了。
请看下集《牛顿300、“恒等”转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的诀窍》”

牛顿300、“恒等”转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的诀窍

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~299》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用低等数学思维的常量思维建立某一个函数（计算公式），再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变量的极限求出，就可以解决问题了。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…常、量、常量：见《牛顿64》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…变、量、变量：见《欧几里得29》…







这种“恒等”转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的重要诀窍。
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…计、算、计算：见《欧几里得157》…

前面讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积方法”，分别是相应的“无穷级数之趋近数值”、“瞬时速度”、“求圆面积”的最为精确的求近似值的办法。
…无、穷、无穷：见《牛顿136》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…
（…《伽利略》：小说名…）
…精、确、精确：见《牛顿25》…

用极限思想，可得到相应的无比精确的结论值。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…

这都是借助于极限的思想方法。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

用“无限地逼近”也可以实现精密计算结果。
…精、密、精密：见《牛顿129》…
…结、果、结果：见《牛顿105》…

用微积分的极限思维，可满意地解决“直接用常量办法计算有变化量的函数，但无现成公式可用，所以计算结果误差大”的问题。


用于建立概念

极限的思想方法贯穿于数学分析始终。可以说数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。
…分、析、分析，数学分析：见《欧几里得49》…

在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛（liǎn）散性等概念。如：
（1）函数在一点连续的定义，是当自变量的增量趋于0时，函数值的增量趋于0的极限。
（2）函数在一点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当自变量趋于0时的极限。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…级、数、级数：见《伽利略57》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…


解决问题的极限思想

“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是“数学分析”在“初等数学”基础上，有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…发、展、发展：见《伽利略21》…

数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于采用了“极限”的“无限逼近”的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。

人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向、趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上极限思想方法。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…

用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法，得到极为准确的结论。
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…

“非线性意味着批发价格是不成比例的：一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。这里重要的观念是“反馈（kuì）”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。
请看下集《牛顿301、什么叫线性和非线性？》”

牛顿301、什么叫线性和非线性？

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~300》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

运算法则：
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…

设lim f（x），lim g（x）存在，且令lim f（x）=A，lim g（x）=B，则有以下运算法则：
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。
v.限制；限定；限量；减量…]

线性运算：
…线：见《欧几里得175》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…


什么叫线性和非线性？——网友提问

阿炎的情感小屋，推荐于2019-08-21：

1、两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”；如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系”。
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…

2.比如说y=kx 就是线形的，而y=x^2就是非线形的。线形的图形一般是一条直线。
…^：乘方…
…x^2：x的平方…

3.“非线性”的意思就是“所得非所望”。
一个线性关系中的量是成比例的：十枚橘子的价钱是一枚的十倍。
…比、例、比例：见《欧几里得29》…

非线性意味着批发价格是不成比例的：一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。这里重要的观念是“反馈（kuì）”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。

扩展资料
线性和非线性的区别：
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
…阶：见《牛顿280》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…

“线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用。而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损。
请看下集《牛顿302、线性和非线性（二）》”

牛顿302、线性和非线性（二）


什么叫线性和非线性？——网友提问
…线：见《欧几里得175》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…
2013-11-09，匿（nì）名用户：
…匿：隐藏；不让人知道：隐～。～名。～居深山。～影藏形…
…匿名：不写名或不写真实姓名：～信。～举报…

线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；
…量：见《欧几里得27》…
…比、例、比例：见《欧几里得29》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…理、解、理解：见《欧几里得58》…
…阶：见《牛顿280》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…

非线性则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性。
…视敏度（百度百科）：指眼分辨物体细微结构的最大能力。通常用能分辨两点的最小视角来确定…
（…物、体、物体：见《伽利略9》…
…结、构、结构：见《欧几里得41》…）

激光也是非线性的！天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的。
…运、动、运动：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）

与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的。混沌正是生命力的表现。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
…系、统、系统：见《欧几里得37》…

非线性

指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。如宇宙形成初的混沌状态。

自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量，这种关系叫非线性关系。

“线性”与“非线性”，常用于区别函数y=f（x）对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。

线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
…空、间、空间：见《伽利略10》…
…时、间、时间：见《伽利略10》…

如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。

非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。

线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用。而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损。
…作、用、作用：见《欧几里得68》…
…简、单、简单：见《伽利略13》…

激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
…相、位、相位：见《伽利略31》…

迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
…认、识、认识：见《欧几里得51》…
…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…

线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…变、量、变量：见《欧几里得29》…
…变、化、变化：见《伽利略10》…
…率：见《欧几里得58》…

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：
…含、义、含义：见《欧几里得193》…

其—，“定义非线性算符N（φ）为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…算：见《欧几里得28》…
…符：见《欧几里得160》…
…φ：音标 /faɪ/。第二十一个希腊字母。大写Φ，小写φ…
…ψ：第二十三个希腊字母。大写Ψ，小写ψ，中文名：普西…


这意味着φ与ψ间存在相互作用，或者φ、ψ是不连续（有突变或断裂）、不可微（有折点）的。
…连、续、连续：见《欧几里得44》…

其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，—个变量最初的变化，所造成的此变量或其它变量的变化，是不成比例的。
…描、述、描述：见《伽利略34》…
…确、定、确定：见《欧几里得196》…

换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方。
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

概括地说，就是物理变量间的增量关系，在变量定义域内不对称。
可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；
反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。
之所以采用了两种表述，是因为在不同场合，对不同对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系，是方便的。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…

非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”确实如此。
…特、点、特点：见《牛顿95》…

“极限运算法则就像加减乘除四则运算一样，是一种计算规则，那么极限也有属于它自己的一套计算规则。
请看下集《牛顿303、极限运算法则，有、界、有界，数学符号∈（属于）》”

牛顿303、极限运算法则，有、界、有界，数学符号∈（属于）

极限（微积分概念）（百度百科）：…
…极、限、极限：见《欧几里得218~300》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

运算法则：
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…

设lim f（x），lim g（x）存在，且令lim f（x）=A，lim g（x）=B，则有以下运算法则：
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。
v.限制；限定；限量；减量…]

线性运算：
…线：见《欧几里得175》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…线性：见《牛顿301、302》“线性和非线性”…

加减：
Iim[f（x）±g（x）]=A±B

数乘：
Iim[cf（x）]=cA（其中c是一个常数）
…常、数、常数：见《欧几里得132》…

非线性运算：

乘除：
Iim[f（x）g（x）]=AB
Iim[f（x）/g（x）]=A/B（其中B≠0）

幂运算：
…幂：见《欧几里得113》…

Iim[f（x）]^n=A^n
…^：乘方…
…A^n：A的n次方…

2020-11-08，网友“菠萝的学堂”发布名为《【极限】第四节 极限运算法则》的文章。（19人赞同了该文章）


文章内容：
…内、容、内容：见《欧几里得66》…

极限运算法则就像加减乘除四则运算一样，是一种计算规则，那么极限也有属于它自己的一套计算规则。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…规、则、规则：见《牛顿75》…

极限运算法则的常用定理
…定、理、定理：见《欧几里得2》…

定理1、两个无穷小的和是无穷小
有限个无穷小之和也是无穷小
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…
…和：见《牛顿35》…

定理2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小
…有：见《欧几里得25》…
…界：见《欧几里得47》…

有界（百度百科）：若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M，x∈D。则称函数y=f（x）在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
…∈一般指属于（数学术语）…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

属于（数学术语）：数学符号为“∈”，表示元素和集合之间的关系。
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…
…元、素、元素：见《欧几里得45》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…

若a∈A，则a属于集合A，a是集合A中的元素。

基本含义
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…含、义、含义：见《欧几里得193》…

指定对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，D…表示；集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d…表示。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…

属于，数学符号为“∈”，表示元素和集合之间的关系。
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a∈A。
例如，若A表示“1~20以内所有整数”组成的集合，则有3∈A。

“函数y=sin x在其定义域（-∞，+∞）内有界，这是因为对任意x∈（-∞，+∞），总有|sin x|≤1。
请看下集《牛顿304、定义域是函数自变量取值范围组成的集合，一般用字母D表示》”

牛顿304、定义域是函数自变量取值范围组成的集合，一般用字母D表示

有界（百度百科）：若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M，x∈D。则称函数y=f（x）在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
…有：见《欧几里得25》…
…界：见《欧几里得47》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…∈一般指属于（数学术语）：见《牛顿303》…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

…D：定义域（domain of definition）…
[…domain：n.（知识、活动的）领域，范围，范畴；（尤指旧时个人、国家等所拥有或统治的）领土，领地，势力范围；域；定义域。
…definition：n.（尤指词典里的词或短语的）释义，解释；定义；清晰度…]


定义域为D是什么意思？——网友提问

595179414（推荐于2017-11-24，TA获得超过133个赞）：定义域是指由函数自变量的取值范围组成的集合，一般用字母D表示。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…

……
有界（百度百科）：若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M，x∈D。则称函数y=f（x）在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

定义
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

定义1

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M＞0，使得对任意x∈A，有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在数集A上有界，否则称为无界。

例如，函数y=sin x在其定义域（-∞，+∞）内有界，这是因为对任意x∈（-∞，+∞），总有|sin x|≤1。




再如，函数y=1/x 在其定义域（-∞，0）U（0，+∞）内是无界的，这是因为对任意的实数M＞0，总存在点x’=1/2M，使得|1/x’|=2M＞M。



然而，对任意实数ε＞0，函数y=1/x在定义域的子集（-∞，ε] U [ε，+∞）上却是有界的，这是因为对任意x∈（-∞，ε] U [ε，+∞），总有|x|≥ε，于是便可取实数M=1/ε＞0，使得|1/x|≤1/ε=M。
…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…


“函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。
请看下集《牛顿305、有界的定义；用定义判定；证明不等式2x≤1+x^2》”

牛顿305、有界的定义；用定义判定；证明不等式2x≤1+x^2

有界（百度百科）：…
…有、界、有界：见《牛顿304》…

定义2
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M，使得对任意x∈A，有f（x）≤M，则称函数f（x）在数集A上有上界，并称M为f（x）在A上的上界。
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…

如果存在常数m，使得对任意x∈A，有f（x）≥m，则称函数f（x）在数集A上有下界，并称m为f（x）在A上的下界。

显然，若f（x）在A上有界，则f（x）在A必有上、下界。反之，若f（x）在A上有上、下界，则f（x）在A上必有界。

由定义1可知，在集合A上，有界函数f（x）的图形在A上，应介于平行于x轴的两条直线y=±M之间，如图所示：
…集、合、集合：见《欧几里得31》…




注意点

关于函数的有界性，应注意以下两点：
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度，很容易判别一个函数是否有界。
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…学：见《欧几里得4》…


如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如y=tan x，x∈（-π/2，π/2）。




例题解析

例1：讨论下列函数的有界性：

（1）y=sin x，x∈（-∞，+∞）；
…∈一般指属于（数学术语）：见《牛顿303》…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

（2）y=tan x，x∈（-π/2，π/2）

解: （1）由于对一切x∈（-∞，+∞），都有|sin x|≤1，故y=sin x在（-∞，+∞）上是有界函数。
（用定义判定）

（2）根据y=tan x，x∈（-π/2，π/2）的图形容易看出，不论正数M多么大，不等式|tan x|≤1不可能对一切x∈（-π/2，π/2）均成立，因此y=tan x在（-π/2，π/2）上是无界函数。

但如果在区间[-π/3，π/3]上讨论函数y=tan x，因对一切x∈[-π/3，π/3]，不等式|tan x|≤√3（根号3）成立，故y=tan x在区间[-π/3，π/3]上是有界函数。


例2：

证明：函数y=2x/（1+x^2）是有界函数。
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…^：乘方…
…x^2：x的平方…

证明：y=2x/（1+x^2）的定义域为（-∞，+∞），又|y|=|2x/（1+x^2）|≤|（1+x^2）/（1+x^2）|=1。
因此y=2x/（1+x^2）是有界函数。

附：证明2x≤1+x^2。
解：X²+1≥2X
x²-2x+1≥0
（x-1）²≥0
因为任何数的平方都大于等于0
因此上式成立。
所以X²+1≥2X成立。
（2x≤1+x^2等价于X^2+1≥2X等价于x^2-2x+1≥0等价于（x-1）^2≥0：2x≤1+x^2 ↔ X^2+1≥2X ↔ x^2-2x+1≥0 ↔ （x-1）^2≥0）

“y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。
请看下集《牛顿306、有界函数，无界函数》”