欧几里得72、矛、盾、矛盾，反论题，反证法的论证过程，排、中、律、排中律

…反：见《欧几里得22》…
…证：见《欧几里得12》…
…法：见《欧几里得3》…

反证法：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立命题的真实性的证明方法。

…断、定、断定，论、题、论题：见《欧几里得71》…



…矛：象形。金文字形，是古代用来刺杀敌人的进攻性武器。本义：长矛。
字义：古代兵器，在长杆的一端装有青铜或铁制成的枪头：长～。～盾…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…）




…盾：初为象形字。商代甲骨文已出现，像方形盾牌、中有把手状。

最早见于甲骨文。本义是防御性兵器盾牌，引申作后盾，比喻支持和援助的力量。
字义：1.盾牌，古代打仗时用来防护身体、遮挡刀箭等的牌形武器。
2.盾形的东西：金～。银～…

矛盾：矛和盾是古代两种作用不同的武器。古代故事传说，有一个人卖矛和盾，夸他的盾最坚固，什么东西也戳（chuō）不破；又夸他的矛最锐利，什么东西都能刺进去。旁人问他，“拿你的矛来刺你的盾怎么样？”那人没法回答了（见于《韩非子·难一》）。后来“矛盾”连用，比喻言语或行为自相抵触的现象：～百出。他的观点前后有～。
词义：
1.比喻言行自相抵触，矛盾百出。
2.因认识不同或言行冲突而造成的隔阂（hé）、嫌隙：他们俩的～很深。
3.泛指事物互相抵触或排斥：自相～。
4.形式逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时是真也不能同时是假的关系。
5.具有互相排斥的性质：去还是不去，他心里很～。
…形式逻辑：见《欧几里得71》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…判断：见《欧几里得71》…
…反论题：与原论题具有矛盾关系的论题。如果原论题为判断“p”，那么，反论题就是判断“非p”。在论证中，可以设立反论题，通过确定反论题的虚假来论证原论题的真实性…
“这里运用到一个叫‘排中律’的理论…”中学生说，“下面会说‘排中律’。”

反证法的论证过程如下：
先提出论题；
然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；
最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…排：形声。从手，非声。本义：推挤，推开。
字义：1.一个挨一个地按着次序摆：～队。～字。把椅子～成一行。
2.排成的行列：他坐在后～。
3.军队的编制单位，隶属于连，下辖若干班。
4.指排球运动：～坛。中国女～。
5.用于成行列的东西：一～子弹。一～椅子。上下两～牙齿。
6.一种水上交通工具，用竹子或木头平排地连在一起做成。
7.指扎（zā）成排的竹子或木头，便于放在水里运走。
8.一种西式食品，用大而厚的肉片煎成：牛～。猪～。
9.排演：彩～。这是一出新～的京剧。
10、除去，推开：排出、排斥、排水、排外、排挤、排山倒海、排忧解难、～除、排中律…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]




…中：甲骨文字形象旗杆，上下有旌（jīng）旗和飘带，旗杆正中竖立。本义：中心；当中，指一定范围内部适中的位置。
字义：[ zhōng ]
1.方位词。跟四周的距离相等；中心：～央。华～。居～。
2.指中国：～文。古今～外。
3.方位词。范围内；内部：家～。水～。山～。心～。队伍～。
4.位置在两端之间的：～指。～锋。～年。～秋。～途。
5.不偏不倚（yǐ）：～庸。适～。
6.适于；合于：～用。～看。～听。
7.成；行；好：～不～？这办法～。饭这就～了…

…律：见《欧几里得42》…

排中律：形式逻辑的基本规律之一。指在肯定、否定之间必须选其一，不能都不选。也就是对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼，不能都否定。如在“甲是乙”和“甲不是乙”这两个判断中，必须肯定一个，否定一个，没有第三种可能。违反这条规律，就会犯模棱两可的错误。
…模棱（léng）：含糊，不明确，不肯定…
…两可：这样也可以，那样也可以…
…模棱两可（百度汉语）：对问题或事物正反两方面，持既不肯定、也不否定的态度…
…模棱两可（百度百科）2：指不表示明确的态度，或没有明确的主张，对问题正反两面态度模糊…

比如有一块空地可以种庄稼，甲、乙两人讨论这块地该种什么庄稼好。甲一会儿说应该种玉米，一会儿又说不应该种玉米。
针对甲的说法，乙说：“你的两种意见，我都不同意。”
在这里，甲的说法就违反了矛盾律的要求，犯了“自相矛盾”的错误，因为他同时肯定了这块空地“应该种玉米”和“不应该种玉米”这两个相互矛盾的判断。
而针对甲的说法，乙的说法就违反了排中律的要求，因为排中律认为两个互相矛盾的判断不能同假，而乙恰好断定上述两个判断都是假的。
也就是说：这块地要不就是应该种玉米，要不就是不应该种玉米，二者必有其一。

…矛盾律：见下集…

“矛盾律：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，就会犯自相矛盾的错误。
请看下集《欧几里得73、矛盾律，假，不，否、否定，真实，不真实》”

欧几里得73、矛盾律，假，不，否、否定，真实，不真实

…矛、盾、矛盾，律：见《欧几里得72》…



矛盾律（百度汉语）：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，就会犯自相矛盾的错误。
“矛盾律也叫不矛盾律。”中学生说。

矛盾律（百度百科）2：通常被表述为A必不非A（A一定不是非A），或A不能既是B又不是B。对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。

矛盾律首先是作为事物规律提出来的，意为任一事物不能同时既具有某属性又不具有某属性。它作为思维规律，则指任一命题不能既真又不真。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…真：见《欧几里得16》…

矛盾律指对两个矛盾的判断，不能同时承认它们都是真的，其中至少有一个是假的。
…判断：见《欧几里得70、71》…



假：形声。从人，从叚（jiǎ），叚亦声。“叚”意为“非原本的”、“借的”。“人”与“叚”联合起来表示“借用的人员”。本义：代理人。引申义：代理；借用。再引申义：非真；不实。说明：“假上将军”即“代理上将军”。“假为天子”即“代理天子”。

汉字，表示不真实的，不是本来的，与“真”相对，欺诈。
该事物的名称定义和该事物的本质不符合。
例：[一盘羊肉（实际是猪肉）]该事物的名称（羊肉）的定义（取自羊身上的肉）和该事物（羊肉）的本质（实际是猪肉）不符合。那这就是一盘假羊肉。
据理推断，有待验证的：假设。假使。假如。

字义：[ jiǎ ]
1.虚伪的；不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义。
2.假定：～设。～说。
3.假如：～若。～使。
4.借用：～公济私。不～思索…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…相、对、相对：见《欧几里得69》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…

不：用在动词、形容词和其他副词前面表示否定：～去。～能。～多。～经济。～一定。～很好。（见《欧几里得40》）




…否：从金文到楷书，否字字形都是从口、不声。口是指说话的动作；不字兼表义，除表示声读外，也表示对事情的否定。

《说文解字》：“否，不也。从口从不。”
字义：[fǒu]
1.不是这样，表示不同意。
2.否定：～决。～认。
3.“是否”“可否”等表示“是不是”“可不可”等意思…
…否定：用来否认一个事实的成立、存在或真实性。
对事物的存在或事物的真实性、合理性不予承认（跟“肯定”相对）：事实是否定不了的。
词义：1.不承认事物的存在或事物的真实性：成绩不容～。
2.逻辑学名词。表示否认的；反面的。与“肯定”相对。如“否定判断”…
（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…判断：见《欧几里得70、71》…）

…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。

矛盾律要求对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。如不能说“水是物质”同时又说“水不是物质”，“水是物质”“水不是物质”这两个判断中必有一个是假的。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…

矛盾律要求思想前后一贯，不能自相矛盾。公式是：“A必不非A（A一定不是非A）”或“A不既B又非B（A不能既是B又不是B）”。

“对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。
请看下集《欧几里得74、“非黑即白”的谬误；排中律和矛盾律，有哪些本质区别？》”

欧几里得74、“非黑即白”的谬误；排中律和矛盾律，有哪些本质区别？

…排、中、律、排中律：见《欧几里得72》…
排中律指：任何判断或者为真、或者为假。也可以表述为，两个相互矛盾的判断不可能同时为假，其中必有一真。
…真：真实…见《欧几里得16》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…
…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
“真，可以简单的理解为‘符合事实’；假，可以简单的理解为‘不符合事实’。”中学生接着说。

在逻辑中，命题的真值只有两个：真和假。任何一个命题的真值都必居其一，或者为真，或者为假，不可能既是真的，又是假的。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…值：形声。从人，直声。字本作“直”。本义：放置。
字义：1.价钱：币～。价～。
2.相当；值得：这支笔～五元。不～一提。
3.碰到；遇上：正～佳节。
4.担任轮到的职务：～班。～日。
5.数学上按照数学式演算所得的结果：比～。函数～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

排中律要求不能同时否定两个不可同假的命题。命题之间的矛盾关系是一种既不可同真又不可同假的关系。例如，“这个杯子是金属的”和“这个杯子是非金属的”不可能都假，如果对两者都加以否定，就会违反排中律。

排中律要求保持思想的明确性。一个思想如果被认为既不真又不假（既不符合事实，又符合事实），就会令人难以理解、不知所云。
违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。

对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。

排中律在法律工作中的应用：法律用语不容模棱两不可
案情认定是不容含糊的，或者A，或者非A，不能既不是A又不是非A。例如，某被害人死亡，或者是自杀，或者非自杀，二者必居其一。如果否定是自然死亡，就要肯定是非自然死亡，反之亦然。

排中律为什么叫排中？——网友提问
2019-11-28，百情稽（jī）凌春：排中的意思就是说两个当中必须有一个是对的，或者在肯定和否定当中，必须有一个是对的。




排中律和矛盾律，有哪些本质区别？——网友提问

2019-05-15，天行健（自我介绍：天朝特别行动队队员）：
首先明确两个定律：
1、矛盾律：两个互相矛盾的命题，不可能同时为真，必有一假。
2、排中律：两个互相矛盾的命题，不可能同时为假，必有一真。
然后，明确命题间的关系：
矛盾关系：不能同时为真，也不能同时为假，必然一真一假。一个为真，另一个必为假；一个为假，另一个必为真，两者是非此即彼的关系。比如“今天下雨了”和“今天没下雨”，就是两个互为矛盾关系的命题。

矛盾律指明“有假”，即指明两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指明“有真”，即指明两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真。
违反矛盾律，导致的错误叫“模棱两可”；违反排中律，导致的错误叫“两不可”。
矛盾律是由真推假；而排中律是由假推真。
（194 人赞同了该回答）

2020-03-17，梦羽灵泉（自我介绍：一个脱离了高级趣味的人）：
名字就很简单说明了
排中律说的是密实性，即无缝隙，即拒绝其他元素的加入
矛盾律说的是独立性，即无交集，即拒绝已有元素的跨界混同

2020-02-28，我觉得是先有蛋：
你是女人；你不是女人；这两个是互相矛盾的命题。（注意：“你是女人”的矛盾命题不是“你是男人”）
矛盾律：你不能既是女人又不是女人，必有一假。
排中律：你要么是女人要么不是女人，必有一真。
（3 人赞同了该回答）



“反证法是数学家最精当的武器之一。——牛顿
请看下集《欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）》”

欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）

反证法的论证过程如下：
先提出论题；
然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；
最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
…论、题、论题：见《欧几里得71》…

反论题：与原论题具有矛盾关系的论题。如果原论题为判断“p”，那么，反论题就是判断“非p”。在论证中，可以设立反论题，通过确定反论题的虚假来论证原论题的真实性。
“这里运用了排中律，”中学生说，“根据排中律，互相矛盾的两论题必有一真。”
“反论题为假，那么原论题为真。”中学生最后说。
…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…



…关：最早见于金文，原为会意字，从门，门内有闩（shuān）。小篆（zhuàn）变为形声字，从门，从丱（guàn）。南北朝以来的俗字，曾把繁体字“关”（關）中间的部分简作“关”。近代民间又将外面的“门”省略，写作“关”。《简化字总表》采用了这种写法。

本义是门闩。引申为关门。由关门的关，引申为关口。人体的各部位，常以关名，即关节。还可指机械的发动处。后起意义还有牵连，涉及等。

字义：1.使开着的物体合拢：～窗户。把抽屉～上。
2.使机器等停止运转；使电气装置结束工作状态：～机。～灯。～电视。
3.放在里面不使出来：鸟儿～在笼子里。监狱是～犯人的。
4.（企业等）倒闭；歇业：有一年，镇上～了好几家店铺。
5.古代在交通险要或边境出入的地方设置的守卫处所：～口。～防。山海～。嘉峪～。我的责任就是不让废品混过～去。
6.城门外附近的地区：城～。北～。～厢。
7.门闩：门插～儿。斩～落锁。
8.货物出口和进口查验收税的地方：海～。～税。
9.比喻重要的转折点或不容易度过的一段时间：难～。只要突破这一～，就好办了…
[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]

…系：见《欧几里得25》…
…关系：1.事物之间相互作用、相互影响的状态：正确处理科学技术普及和提高的～。这个电门跟那盏灯没有～。
2.人和人或人和事物之间的某种性质的联系：拉～。～户。夫妻～。军民～。社会～。
3.对有关事物的影响或重要性；值得注意的地方（常跟“没有、有”连用）：没有～，修理修理照样用。
4.泛指原因、条件等：由于时间～，暂时谈到这里为止。
5.表明有某种组织关系的证件：随身带上团的～。
6.关联；牵涉：石油是～到国计民生的重要物资…
（…电门：电器上用以接通或截断电路的装置。俗称开关…）

…真：真实…见《欧几里得16》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…
…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…不真实：不符合事实…

“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
“真，可以简单的理解为‘符合事实’；假，可以简单的理解为‘不符合事实’。”中学生最后说。



…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…演、推演：见《欧几里得14》…
…排、中、律、排中律：见《欧几里得72、74》…

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作反论题。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬（miù）法。
…判、断、判断：见《欧几里得70、71》…
…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的…

反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法常用来证明正面证明有困难，而命题的否定比较浅显的题目，（对这种题目使用反证法）问题可能解决得十分干脆。

“欧几里德（Euclid Alexandra）：生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家。
请看下集《欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的》”

欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）

反证法的论证过程如下：
先提出论题；
然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；
最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
…论、题、论题：见《欧几里得71》…

反论题：与原论题具有矛盾关系的论题。如果原论题为判断“p”，那么，反论题就是判断“非p”。在论证中，可以设立反论题，通过确定反论题的虚假来论证原论题的真实性。
“这里运用了排中律，”中学生说，“根据排中律，互相矛盾的两论题必有一真。”
“反论题为假，那么原论题为真。”中学生最后说。
…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…



…关：最早见于金文，原为会意字，从门，门内有闩（shuān）。小篆（zhuàn）变为形声字，从门，从丱（guàn）。南北朝以来的俗字，曾把繁体字“关”（關）中间的部分简作“关”。近代民间又将外面的“门”省略，写作“关”。《简化字总表》采用了这种写法。

本义是门闩。引申为关门。由关门的关，引申为关口。人体的各部位，常以关名，即关节。还可指机械的发动处。后起意义还有牵连，涉及等。

字义：1.使开着的物体合拢：～窗户。把抽屉～上。
2.使机器等停止运转；使电气装置结束工作状态：～机。～灯。～电视。
3.放在里面不使出来：鸟儿～在笼子里。监狱是～犯人的。
4.（企业等）倒闭；歇业：有一年，镇上～了好几家店铺。
5.古代在交通险要或边境出入的地方设置的守卫处所：～口。～防。山海～。嘉峪～。我的责任就是不让废品混过～去。
6.城门外附近的地区：城～。北～。～厢。
7.门闩：门插～儿。斩～落锁。
8.货物出口和进口查验收税的地方：海～。～税。
9.比喻重要的转折点或不容易度过的一段时间：难～。只要突破这一～，就好办了…
[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]

…系：见《欧几里得25》…
…关系：1.事物之间相互作用、相互影响的状态：正确处理科学技术普及和提高的～。这个电门跟那盏灯没有～。
2.人和人或人和事物之间的某种性质的联系：拉～。～户。夫妻～。军民～。社会～。
3.对有关事物的影响或重要性；值得注意的地方（常跟“没有、有”连用）：没有～，修理修理照样用。
4.泛指原因、条件等：由于时间～，暂时谈到这里为止。
5.表明有某种组织关系的证件：随身带上团的～。
6.关联；牵涉：石油是～到国计民生的重要物资…
（…电门：电器上用以接通或截断电路的装置。俗称开关…）

…真：真实…见《欧几里得16》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…
…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…不真实：不符合事实…

“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
“真，可以简单的理解为‘符合事实’；假，可以简单的理解为‘不符合事实’。”中学生最后说。



…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…演、推演：见《欧几里得14》…
…排、中、律、排中律：见《欧几里得72、74》…

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作反论题。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬（miù）法。
…判、断、判断：见《欧几里得70、71》…
…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的…

反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法常用来证明正面证明有困难，而命题的否定比较浅显的题目，（对这种题目使用反证法）问题可能解决得十分干脆。

“欧几里德（Euclid Alexandra）：生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家。
请看下集《欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的》”

欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的

只能用反证法证明的命题，有以下几类：
…反证法：见《欧几里得72~75》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…

1.有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的，比如根号2是无理数。
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…

2.对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…

由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…体、系、体系：见《欧几里得27》…



3.证明一个集合有无穷多个元素：用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…元、素、元素：见《欧几里得45》…

如，证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明，相当于列举自然数，然而我们需在有限的步骤中完成，因此直接证法行不通。于是，利用排中律转化为：对于所有自然数n，存在一个自然数m，使得m>n。这几乎是显然的。
…排中律：见《欧几里得72~74》…

总之，只要承认证明过程中只能在有限的步骤中完成，那么关于无穷的问题，我们也只能利用排中律转化为有穷来证明。

依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…矛盾律：见《欧几里得73》…

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以反命题必为假。再根据“排中律”，命题与反命题这互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原命题必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…

使用方法
运用反证法证明命题的第一步是：假设命题不成立，即假设命题的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设，是使用反证法的一大关键。否则，如果错误地“否定命题”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。

要想正确的做出反设，必须注意以下几点：
（1）分清命题与反命题的逻辑关系。
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…逻辑关系：即“依赖关系”，指在人类活动中和思维活动中，概念之间的逻辑关系、命题之间的逻辑关系、事物之间的逻辑关系，时间之间和空间之间的逻辑关系。指表示两个活动（前导活动和后续活动）中一个活动的变更将会影响到另一个活动的关系…
（…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）

（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬（miù），做到无一遗漏。
…归：见《欧几里得38》…

…谬：本意是极端错误，非常不合情理，错误的，不合情理的，差错。礼记·中庸》有记载：考之三王而不谬。
字义：1.错误的；荒唐的：～论。
2.差错：失之毫厘，～以千里…

…归谬：又称归谬法…
…法：见《欧几里得3》…
…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的。
归谬法一般指反证法…

总之，在否定命题之前，首先要弄清命题是什么。当命题的反面非常明显并且只有一种情形时，是比较容易做出否定的。但命题的反面是多种情形或者比较隐晦（huì）时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析（xī）、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是原命题。
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
范例
证明：素数有无数个。
…素：见《欧几里得24》…
…数：见《欧几里得15》…
…素数一般指质数…
…质、质数：见《欧几里得15、16》…

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a（1）＜a（2）＜a（3）…＜a（n）
此时，令N=a（1）·a（2）·a（3）…a（n）+1
（…真：符合事实…见《欧几里得75》…
…不真：不符合事实…）

那么所有的a（i）（i=1，2，3，4，5，n）显然都不是N的因子，那么有两个可能：
…因、子、因子：见《欧几里得16》…
1.N有另外的素数真因子。
…真：见《欧几里得16》…
…真因子：自身以外的因数。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…

2.N本身就是一个素数。

但是显然有N＞a（i）（i=1，2，3，4，5，n）。
无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数！






“雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了…”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。
请看下集《欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∵∴》”

欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∵∴

反证法范例2：证明√2（根号2）是无理数
…反证法：见《欧几里得72~75》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…无理数：见《欧几里得27》…

设命题不真，则√2（根号2）为有理数
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…真：符合事实…见《欧几里得75》…
…不真：不符合事实…
…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

设√2=n/m，即最简分数的形式。则（n/m）2=2



…最：形声字。从冃（mào），取声。“冃”是“帽”字的初文，本义是帽子。“最”字的本义是军功最高。因为帽子戴在人的头顶上，所以古人造字时用“冃”作意符，表示最高，最突出的意思。
在魏晋以前，有个“冣（zuì）”字，从冖，取声，“冖”是“冃”的省略的写法，也表示与帽子有关的意义。“冣”的本义是聚拢、聚集，以“冖”为意符，是因为帽子有聚拢头发的作用（古人留长发）。“冣”和“最”在古代同音，在造字的时候，古人有意识地使二字意符的写法有区别。到了南北朝时期，“冣”字被“最”字代替了，因而“最”字又有了聚拢、聚集的意思。另外，“最”的意符“冃”到了楷书中变形为“⺜”，以便于书写。
字义：表示在程度上达到极点，超过一切同类的人或事物：～好…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]

…简：形声。从竹，间声。本义：竹简。古代书写了文字的狭长竹片。
基本意思是一般用作形容词，表示简单的。作名词时可以表示竹简。动词可以表示简化。
字义：1.简单（跟“繁”相对）：～便。～体。言～意赅（gāi）。删繁就～。
2.使简单；简化：精～。精兵～政。
3.古代用来写字的竹片：～册。竹～。
4.信件：书～…
（…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…）
…分、数、分数：见《欧几里得24》…

最简分数：分子和分母互质的分数，如1/2，2/3，8/9，3/8等等。
…子：见《欧几里得16》…
…分子：在数学界里，分子表示分数中写在分数线上面的数（或代数式）…



…母：象形字。甲骨文是面部朝左屈身跪坐的女子。金文的形体与甲骨文基本上一样。小篆（zhuàn）由金文演变而来。隶变厚。楷书写作“母”。
本义：生养者即妈妈、娘。如：母亲、母性、母系、慈母。引申为雌性的、事物产生的根源等，还可以引申为对女性长辈的称呼等意。

象形。甲骨文字形，像母亲有乳之形。本义：母亲。
字义：1.母亲：～女。老～。～校。
2.家族或亲戚中的长辈女子：祖～。伯～。姑～。姨～。舅～。
3.属性词。（禽兽）雌性的（跟“公”相对）：～鸡。～牛。这头驴是～的。
4.指一凸一凹配套的两件东西里的凹的一件：这套螺丝的～儿丢了。
5.有产生出其他事物的能力或作用的：工作～机。失败乃成功之～…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…）

…分母：分数中写在分数线下面的数（或代数式）…



…互：象形。是一种绞（jiǎo）绳用的工具。本义：绞绳用的工具。
字义：交替；相互，交互…
…质：见《欧几里得15》…
…互质（百度百科）：公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形…
…互质（百度汉语）2：两个正整数只有公约数1时，它们的关系叫做互质。如3和11互质…

…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…（n/m）2=2：（n/m）的平方=2…

∵ （n/m）2=2
∴ 2m2=n2
…∵：数学术语，表示“因为”的意思。
“∴”（所以）是瑞士数学家Johann Rahn 首先使用的。他在1659年出版的一本数学书《Teusche Algebra》里以“∴”及“∵”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多…
（…术、语、术语：见《欧几里得67》…）
…∴：数学符号“所以”。
雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了…”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。而该书1668年的英译本亦以此两种符号表示“所以”，但以“∵”用得较多。
琼斯于1706年以“∴”表示“所以”。
至18世纪中，“∵”用以表示“所以”至少和“∴”用得一样多。
到了1827年，由剑桥大学出版的欧几里得《几何原本》中分别以“∵”表示“因为”，及以“∴”表示“所以”。这种用法日渐流行，且沿用至今…
[…克里斯托弗·雷恩（Sir Christopher Wren，1632-1723年，英国皇家学会会长，天文学家和著名建筑师）：生于威尔特郡蒂（dì）斯巴里。在牛津大学学习，1651年获文学学士学位，1653年获文学硕士学位，1661年获民法博士学位。曾获剑桥大学法学博士学位。1652－1661年在万灵学院任教。1657－1660年兼任伦敦格雷沙姆学院天文学教授。1661－1673年任牛津大学天文学教授。1669年直到他逝世前的数年，他担任皇室著作的主检查员，是伊萨克·巴罗、罗伯特·波义耳、约翰·沃利斯、埃德蒙多·哈雷、牛顿、罗伯特·胡克等当时著名科学家好友。
雷恩是英国皇家学会创始人之一…]
…2m2=n2：2×m的平方=n的平方…



“这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。（百度百科语）
请看下集《欧几里得78、证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设》”

欧几里得78、证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设

反证法范例2：证明√2（根号2）是无理数
…反证法：见《欧几里得72~75》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…无理数：见《欧几里得27》…

设命题不真，则√2（根号2）为有理数
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…真：符合事实…见《欧几里得75》…
…不真：不符合事实…
…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

设√2=n/m，即最简分数的形式。则（n/m）2=2
（“整数相当于分母是1的分数，所有任何有理数都能写成分数。”中学生说。）
…最、简，分、数、分数，最简分数：见《欧几里得77》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…（n/m）2=2：（n/m）的平方=2…

∵ （n/m）2=2
∴ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方）
…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…
…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…

∴ n2（n的平方）=m2/2（m的平方/2）
∴ n2（n的平方）为偶数
∴ n为偶数（奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数）

n可表示为2x

∵ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方），n2=2x（n的平方=2x）
∴ 2m2=n2=（2x）2[（2x）的平方]=4x2（4·x的平方）
∴ m2=2x2（m的平方=2·x的平方）

∵ 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数
∴ m 也为偶数
∴ m和n有公因数2，这与n/m为最简分数矛盾

根据矛盾律（互相矛盾的两命题必有一假），“m和n有公因数2”“n/m为最简分数”必有一假
…矛盾律：见《欧几里得73》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

根据排中律（命题不可能既真又假），“n/m为最简分数”真，所以“m和n有公因数2”必为假
…排中律：见《欧几里得72~74》…

根据逻辑关系（证明方法正确，原命题为真、推论为真，原命题为假、推论为假），原命题“√2（根号2）为有理数”为假
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…逻辑关系：见《欧几里得76》…

∴ 原命题的反命题为真
∴ “√2（根号2）为无理数”为真
∴ √2（根号2）为无理数

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。





反证法（百度汉语）2：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬（miù）法。
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…定：见《欧几里得2》…

假定：科学上对客观事物的假设。参见“假设”。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…



…设：会意。从言，从殳（shū）。本义：摆设；陈列。
字义：1.设立；布置：～防。～宴。总部～在北京。
2.筹划：～计。想方～法。
3.假设：～想。～x=1。～长方形的宽是x米…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
…假设：1.虚构：故事情节是～的。
2.科学研究上对客观事物的假定的说明，假设要根据事实提出。经过实践证明是正确的，就成为理论…
（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…）

…
…归、谬、归谬，法，归谬法：见《欧几里得76》…

““以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”中学生最后说。
请看下集《欧几里得79、人能快快乐乐的成功吗？》”

欧几里得79、人能快快乐乐的成功吗？



“‘努力伴随着痛苦’，这点虽然没被精准证明，但是，这是人们自古以来的感受…”中学生说，“这种感受是事实。”
…人们自古以来的感受：见《欧几里得65》…
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？”中学生问。
“这个问题的答案很好推理…”中学生说。
…推、理、推理：见《欧几里得12》…

“推理方法众多，我们用反证法推导一下…”中学生说。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…反证法：见《欧几里得65~78》…
…推、导、推导：见《欧几里得7》…

“假设‘努力中只有痛苦’…痛苦对自己有害…根据趋利避害定律，人会远离对自己有害的事物…”中学生接着说，“所以人会远离‘努力’…”
…趋利避害（百度百科）：汉语成语，意思是趋向有利的一面，避开有害的一面…
…趋利避害（百度汉语）2：趋：奔向。奔向有利的一面，而避开有害的一面…

我们上初中生物课时，做过草履虫试验：把1粒盐放在培养皿中，培养皿里的草履虫会远离食盐…
生物会远离不利于自己的环境，生物学把这个规律叫趋利避害。
趋利避害是生物与生俱来的本能：只要是生物，就有这种本能。
人是生物，人也有趋利避害本能：我们面临两个选择时，会选择对自己有利的一个。
——《自然科学价值观》

…定：见《欧几里得2》…
…律：见《欧几里得42》…
…定律：定律是自然规律的统称，是解锁宇宙奥秘的钥匙。定律是了解宇宙的基石。是从亘（gèn）古到现代不曾改变的宇宙规律。
定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的命题。定律的特点是可证，而且已经被不断证明…
（…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…）

“人会远离努力…这和事实矛盾：几千年来，人们对‘努力’趋之若鹜（wù）。”中学生最后说。
…趋：形声。从走，刍（chú）声。本义：快步走。
字义：1.快走：～炎附势（奔走于权贵，依附有权势的人）。～之若鹜（像野鸭子一样成群地争着去，含贬义）。
2.归向，情势向着某方面发展：～向。～势。大势所～。
3.鹅或蛇伸头咬人。
4.追求，追逐：～时（追求时髦）。～利。～光性…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…趋之若鹜：像鸭子一样成群地跑过去。比喻争相追逐不正当的事物。鹜（wù）：鸭子…

“‘努力中只有痛苦’‘几千年来，人们对努力趋之若鹜’矛盾，根据矛盾律（互相矛盾的两命题必有一假），这两个必有一假。”中学生说。
…矛盾律：见《欧几里得73》…
…假：不符合事实…见《欧几里得75》…
“根据排中律（命题不可能既真又假），‘几千年来，人们对努力趋之若鹜’为真，所以‘努力中只有痛苦’为假。”中学生接着说。
…排中律：见《欧几里得72~74》…
“所以努力中不只有痛苦…”中学生继续说。
“努力中还有其他东西…”中学生最后说。

“根据趋利避害定律，人会趋向对自己有利的东西…”中学生说，“所以，努力中有对人有利的东西…”
“这种东西对人有利，且大于努力带来的痛苦…所以，人们选择了努力…”中学生接着说。

“人感受到‘痛苦’，会表现出‘痛苦的样子’…”另一位中学生说，“人感受到‘快乐’，也会表现出‘快乐的样子’…”
…痛苦的样子：头悬梁锥刺股；凿壁偷光；卧薪尝胆…见《欧几里得65》…
…快乐的样子：小学生打游戏时happy的样子…等等…
[…happy（英文）：adj.（形容词）感到（或显得）快乐的；高兴的； 给予（或带来）快乐的；使人高兴的；幸福的；表示祝愿，如Happy Birthday生日快乐、Happy New Year新年好等…]

有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级。但这只是表面现象…真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。
——网友

“由于是本身的兴趣爱好…天才努力的时候显得不那么痛苦…”中学生继续说，“由于是本身的兴趣爱好…天才努力的时候显得很快乐…”
“人努力时，感受到的快乐大于痛苦…这种情况下，人会表现出‘快乐的样子’…”中学生说。
（“人不能同时表现出‘痛苦的样子’‘快乐的样子’…”中学生说，“在同一时刻，人只能表现出‘痛苦的样子’‘快乐的样子’当中的一个。”）
“就是说，努力也可以是快乐的…”中学生最后说。

“以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”中学生最后说。

““‘如何识别努力’，想弄清这个问题，需先弄清另一个问题：什么是努力？”中学生说。
请看下集《欧几里得80、“痛苦”没办法识别努力时，靠什么识别努力？》”

欧几里得80、“痛苦”没办法识别努力时，靠什么识别努力？

“既然‘痛苦’没法准确识别努力，那么…如何识别努力？”中学生问。

“‘如何识别努力’，想弄清这个问题，需先弄清另一个问题：什么是努力？”另一位中学生说。
“…我们需要给‘努力’下定义…”中学生接着说。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…下定义：见《欧几里得32》…

“当然，字典里已经有努力的定义…”中学生继续说，“我们前面也列出了这个定义（见《欧几里得59》）…”

“这里，我们用科学的方法，归纳一个用于实践的定义…”中学生最后说。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…实、践、实践：见《欧几里得11》…

“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得59~65》）…”中学生说，“资料如下：”

资料：
努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；
努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情。尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；
努力是一种人生态度，努力去追求自己的事业，努力实现自己的价值，为自己的理想而努力（匿名网友）；

努力:1.朝自己的理想奋斗。
2.做好自己该做的事情。
努力学习：对在校学生来说，指学习校内课本。
对于工作中的人，指干好自己的工作。
对于在追梦的人，指尽全力实现这梦。
你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；

我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
就是当你走在大学校园里的时候不会后悔（网友“幻剑飞龙”）；
就两个字：奋斗！（网友“草琦琦”）；
对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；

我认为之所以不知道努力、不会努力，不过是因为你没搞清楚自己究竟为什么努力。你不知道这样努力后能得到什么，你不确定这样的付出是否值得…你现在需要做的就是分析一下利弊。把你觉得这样做你可以获得的好处都想想，确定自己这样做不是做白工。做了之后会比不做好[网友“波濯（zhuó）裔（yì）琼（qióng）英”]；

1、努力是一种积极的工作态度，花的精力多，下的功夫大。2、你只是看起来很努力，并不是真正的努力（网友“从零开始1124”）；

为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
就是能力有点不够但是继续坚持（网友“fjvfhe”）；
努力应该是全身心地投入（网友“逗你玩的大姨子”）；
就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；

努力是“加油”（网友“zhongqinFf”）；
努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；

努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；
努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！”（网友“day凤迷”）；

努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；
努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“[email protected]”）；
能把自己感动了就算努力了，哈哈哈（网友“迈克尔强哥111”）；
就是用尽一切去追求什么吧（匿名网友）；

个人认为有如下几点方可称得上努力
⒈要付出自身一定的价值去实现目标
⒉严格自律，有恒心与毅力（网友“魔笛民政局”）；

努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹（网友“哦安这”）；
努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；
努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；
努力是“加油”（网友“匿名用户”）；
加油的意思（网友“181*****683”）；

努力就是奋斗、拼搏
首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动。祝你成功（网友“曹殿甲家”）；



“努力是“凿壁偷光”“头悬梁锥刺股”“卧薪尝胆”“铁杵磨成针”（古人）；
请看下集《欧几里得81、围绕“什么是努力”搜集的大量资料》”

欧几里得81、围绕“什么是努力”搜集的大量资料



努力是“把不可能实现的目标实现”（网友“走好每一步路”）；
努力是“充实过好每一天”（网友“突然的自我然”）；
我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；
就是争取得到想要东西呀（匿名网友）；
努力是为了自己心里的目标加油奋斗（网友“相依待日落”）；

努力是“尽量去做”（网友“匿名网友”）；
努力是“努力到最后”（网友“识趣”）；
努力是“尽力而为”（网友“156******36”）；
努力是“奋斗，拼”（网友“free小丫小二郎”）；
…free（英语）：adj.自由的…

努力=既定目标+实际行动+拼博精神（网友“善良234840”）；
努力就是每天都会有进步
努力，就是脚踏实地的做好每一件事情（网友“中力健身学院”）；
努力就是有一个目标并为之奋斗（匿名网友）；

1、努力就是卖力气。
2、有了目标才能努力（网友“shangui2006”）；

努力是是一种习惯（知乎网友）；
努力是“经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力，面对着层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下，面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择”（网友“火锅火锅火锅”）；

努力是“做那些对目标有促进作用的行动。只是努力了然后告诉你没用就够了嘛？那特么不叫努力，真正的努力应该是：我试过这个方法不行，总结出不行的原因，并且尝试更多的方法来做好这件事情，直到做成为止”（网友“树上的菜叶子”）；
努力就是坚持自己想要的生活（网友“dreamer”）；
…dream（英文）：n.（名词）梦；睡梦；梦想；理想；愿望
V.（动词）做梦；梦见；想象；梦想…
…dreamer：n.梦想家；空想家；不切实际的人；做白日梦的人；出神的人；神不守舍的人；做梦的人…

努力就是身体累心不累（网友“刘刘刘”）；
努力是“主动而有目的的活动”（《挪威的森林》）；
努力是“不停的、不断的去做好事情”（网友“阳光”）；
努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

我理解的努力分为三层含义：
1，努力是认真，认真是一种态度。
认真代表着有计划有目标，有实践有反馈。如果一件事情你只是计划着去做了，却没有目标，要做到什么效果？要达到什么程度？没有这些，那么你的努力就是没有意义的。所以努力，不光是你去做了，还要知道做这件事你要有什么收获。
2，努力是坚持，坚持是一种习惯。
习惯具有最大的惯性。人一直坚持一件事情是很累的，但是当坚持成为你的一种习惯的时候，就不需要耗费太多心智力量了…努力必须要持续，持续的努力才能看出效果。
…
认真，持续的努力，一定会有收获。我不说一定会有结果。努力不一定会有结果，但是一定会有收获。也许一个月两个月，也许一年两年，这种努力会让你变得越来越优秀。不信试试看。
这是我理解的努力，是不断经历思考总结反思的结果，并且，我也是这么去实践的（网友“Echo”）；

努力，是一种内心坚持着向美好发展的约束力。外在的会让别人在你身上看到希望。
努力就要对自己负责，爱自己。关心自己内心的需要并积极去实现（网友“猪沉思”）；

你问努力是什么？
努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样（网友“悟空家的小怪兽”）；

我只努力我自己需要的（匿名用户）；
很难讲，但肯定和忙碌不一样（网友“轮回”）；
大概是做了会累，不做又会不甘心（匿名用户）；

努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了[网友“忆清梦兮（xī）”]；
努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃（网友“成吗成啊”）；

努力是“凿壁偷光”“头悬梁锥刺股”“卧薪尝胆”“铁杵磨成针”（古人）；
努力是“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能…”（孟子）；
努力是“经历九九八十一难，去取真经”（佛祖）；





““抽象就是总结规律。”现代百姓说。
“抽象就是找相同点。”网友说。
请看下集《欧几里得82、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质》”

欧几里得82、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质

“资料有了，现在我们用‘抽象’技术，从资料中抽离出‘努力’的本质。”中学生说。
…资料：努力的资料…见《欧几里得80、81》…
…抽、象、抽象，本、质、本质：见《欧几里得20~22》…

本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
2.可以知道事物在整个事件中的作用和运作规律。
如：人们知道了动物的本质是细胞构成物，那么也就知道了动物都有细胞的一般规律。
——《欧几里得22》



…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…见《欧几里得20》…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…见《欧几里得20》…

…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象。
抽象是形成概念的一种方法…
“抽象就是总结规律。”现代百姓说。
“抽象就是找相同点。”网友说。
——《欧几里得21》

“抽象，简单来说就是‘总结规律’‘找相同点’…”中学生接着说，“现在，我们来找下相同点…”
（“找下人们对努力的描述的相同点。”中学生说。）

“汉语词典对努力的解释是‘把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大’（见《欧几里得80》）…”中学生说。
“百度百科对努力的解释是‘用尽力气去做事情’（见《欧几里得80》）…”中学生接着说。
“它们说的是同一个意思…”中学生继续说，“‘把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大’，归纳一下，就是‘竭尽全力’…”
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…

“努力的资料中，前两项都在说‘努力需要竭尽全力’，”中学生最后说，“‘竭尽全力’是努力的一个相同点。”

“现在，我们依次找下描写‘努力需要竭尽全力’的资料…看看有多少…”中学生说。

描写“努力需要竭尽全力”的资料：
努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
努力是“…尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；

努力:…对于在追梦的人，指尽全力实现这梦（网友“aiqicheng”）；
我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；
为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
努力应该是全身心地投入（网友“逗你玩的大姨子”）；
就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；
努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！”（网友“day凤迷”）；
努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“[email protected]”）；
就是用尽一切去追求什么吧（匿名网友）；

努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部（网友“哦安这”）；
努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；
努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；
我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

努力是“尽量去做”（网友“匿名网友”）；
努力是“尽力而为”（网友“156******36”）；
努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

“以上是描写‘努力需要竭尽全力’的资料，共计20项…”中学生继续说。

“努力的第一个相同点是‘竭尽全力’，”中学生最后说，“现在，我们来找第二个相同点。”

““描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生说。
请看下集《欧几里得83、努力的相同点：竭尽全力；持续》”

欧几里得83、努力的相同点：竭尽全力；持续

“以上是描写‘努力需要竭尽全力’的资料，共计20项…”中学生继续说。
…描写“努力需要竭尽全力”的资料：见《欧几里得82》…

“努力的第一个相同点是‘竭尽全力’。”中学生最后说。

“现在，我们来找第二个相同点。”中学生说。

“描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生接着说。
…描写努力的资料：见《欧几里得80、81》…

“归纳一下。就是‘持续’…”中学生继续说，“现在，我们依次找下描写‘努力需要持续’的资料…”

描写“努力需要持续”的资料：

努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；

努力:…你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；
就是能力有点不够但是继续坚持（网友“fjvfhe”）；
努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；
努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；
努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；

个人认为有如下几点方可称得上努力
⒈要付出自身一定的价值去实现目标
⒉严格自律，有恒心与毅力（网友“魔笛民政局”）；
努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；

奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现（网友“河西杰子”）；
努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
努力就是奋斗、拼搏
首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动（网友“曹殿甲家”）；

努力是“充实过好每一天”（网友“突然的自我然”）；
我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

努力就是每天都会有进步（网友“中力健身学院”）；

努力是是一种习惯（知乎网友）；
努力是“经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力，面对着层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下，面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择”（网友“火锅火锅火锅”）；

努力就是坚持自己想要的生活（网友“dreamer”）；

努力是“不停的、不断的去做好事情”（网友“阳光”）；

我理解的努力分为三层含义：
1，努力是认真，认真是一种态度。
认真代表着有计划有目标，有实践有反馈。如果一件事情你只是计划着去做了，却没有目标，要做到什么效果？要达到什么程度？没有这些，那么你的努力就是没有意义的。所以努力，不光是你去做了，还要知道做这件事你要有什么收获。
2，努力是坚持，坚持是一种习惯。
习惯具有最大的惯性。人一直坚持一件事情是很累的，但是当坚持成为你的一种习惯的时候，就不需要耗费太多心智力量了…努力必须要持续，持续的努力才能看出效果。
…
认真，持续的努力，一定会有收获。我不说一定会有结果。努力不一定会有结果，但是一定会有收获。也许一个月两个月，也许一年两年，这种努力会让你变得越来越优秀。不信试试看。
这是我理解的努力，是不断经历思考总结反思的结果，并且，我也是这么去实践的（网友“Echo”）；

努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了[网友“忆清梦兮（xī）”]；
努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃（网友“成吗成啊”）；





努力是“铁杵磨成针”（古人）；

“以上是描写‘努力需要持续’的资料，共计24项…”中学生说。

“努力的第二个相同点是‘持续’。”中学生最后说。

“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生说。

““以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。
“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。
请看下集《欧几里得84、努力的相同点：有目标》”

欧几里得84、努力的相同点：有目标

“以上是描写‘努力需要持续’的资料，共计24项…”中学生说。
…描写“努力需要持续”的资料：见《欧几里得83》…

“努力的第二个相同点是‘持续’。”中学生最后说。

“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生说。

“描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生接着说。

“除了持之以恒，努力还需要有目标…”中学生继续说。
“现在，我们依次找下描写‘努力需要有目标’的资料…”中学生最后说。

描写“努力需要有目标”的资料：
努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；
努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情（网友“linjiangman”）；
努力是一种人生态度，努力去追求自己的事业，努力实现自己的价值，为自己的理想而努力（匿名网友）；

努力:朝自己的理想奋斗（网友“aiqicheng”）；
为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；

努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；

努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；

个人认为有如下几点方可称得上努力
⒈要付出自身一定的价值去实现目标…（网友“魔笛民政局”）；
努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；
努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
首先要有明确的奋斗目标（网友“曹殿甲家”）；
努力是“把不可能实现的目标实现”（网友“走好每一步路”）；
我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；
努力是为了自己心里的目标加油奋斗（网友“相依待日落”）；

努力=既定目标+实际行动+拼博精神（网友“善良234840”）；
努力就是有一个目标并为之奋斗（匿名网友）；
有了目标才能努力（网友“shangui2006”）；

努力是“做那些对目标有促进作用的行动。只是努力了然后告诉你没用就够了嘛？那特么不叫努力，真正的努力应该是：我试过这个方法不行，总结出不行的原因，并且尝试更多的方法来做好这件事情，直到做成为止”（网友“树上的菜叶子”）；

努力是“主动而有目的的活动”（《挪威的森林》）；
努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

努力就要对自己负责，爱自己。关心自己内心的需要并积极去实现（网友“猪沉思”）；

你问努力是什么？
努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样（网友“悟空家的小怪兽”）；

我只努力我自己需要的（匿名用户）；

努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了[网友“忆清梦兮（xī）”]；
努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃（网友“成吗成啊”）；
努力是“经历九九八十一难，去取真经”（佛祖）；

“以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。

“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。





“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生继续说。


““以上是描写‘努力需要做事’的资料，共计34项…”中学生继续说。

“努力的第四个相同点是‘做事’。”中学生最后说。
请看下集《欧几里得85、努力的相同点：做事》”

欧几里得85、努力的相同点：做事

“以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。
…描写“努力需要有目标”的资料：见《欧几里得84》…

“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。

“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生继续说。

“百度百科对努力的解释是：用尽力气去做事情（见《欧几里得80》）…”中学生最后说。

“努力需要做事…”中学生说。

“现在，我们依次找下描写‘努力需要做事’的资料。”中学生接着说。

描写“努力需要做事”的资料：
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情。尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；
努力:…2.做好自己该做的事情。
努力学习：对在校学生来说，指学习校内课本。
对于工作中的人，指干好自己的工作。
对于在追梦的人，指尽全力实现这梦。
你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；

我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；
为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；

努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；

努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；
努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“[email protected]”）；

努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情（网友“哦安这”）；
努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；

努力就是奋斗、拼搏
首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动。祝你成功（网友“曹殿甲家”）；

努力是“充实过好每一天”（网友“突然的自我然”）；
我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

努力是“尽量去做”（网友“匿名网友”）；
努力是“尽力而为”（网友“156******36”）；

努力=既定目标+实际行动+拼博精神（网友“善良234840”）；
努力，就是脚踏实地的做好每一件事情（网友“中力健身学院”）；

努力是“做那些对目标有促进作用的行动。只是努力了然后告诉你没用就够了嘛？那特么不叫努力，真正的努力应该是：我试过这个方法不行，总结出不行的原因，并且尝试更多的方法来做好这件事情，直到做成为止”（网友“树上的菜叶子”）；

努力是“不停的、不断的去做好事情”（网友“阳光”）；
努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

你问努力是什么？
努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样（网友“悟空家的小怪兽”）；

努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；



努力是“凿壁偷光”“头悬梁锥刺股”“卧薪尝胆”“铁杵磨成针”（古人）；

“以上是描写‘努力需要做事’的资料，共计34项…”中学生继续说。

“努力的第四个相同点是‘做事’。”中学生最后说。

““把努力的相同点总结一下，便得到了努力的定义：努力是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…”中学生说。
请看下集《欧几里得86、努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事》”

欧几里得86、努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事

“从目前的资料中，很难找出努力的其他相同点了。”中学生说。
…目前的资料：努力的资料…见《欧几里得80、81》…

“我们之前找到的努力的四个相同点——竭尽全力、持续、有目标、做事，是努力的本质。”中学生接着说。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…

本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
2.可以知道事物在整个事件中的作用和运作规律。
如：人们知道了动物的本质是细胞构成物，那么也就知道了动物都有细胞的一般规律。
——《欧几里得22》

“把努力的相同点总结一下，便得到了努力的定义：努力是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…”中学生继续说。



…总（繁体为“總”）：《说文解字》：“总、聚束也。从糸（mì）、悤（cōng）声。”束丝之形是糸的意思。孔隙多（囱）而心乱是“悤”的意思。糸、悤叠加。将丝束汇聚在一起是总的意思。
本义：聚合，聚在一起。如：总之、总数、总体、总结、汇总。
衍（yǎn）义：引申指“概括全部，主要的”。如：总纲、总则。
衍义：引申指“为首的，最高的”。如：总司令、总裁、总经理、总统。
衍义：引申指“束系，束头发”。如：总角（jiǎo ）。
衍义：引申指“经常，一直”。如：总是这样。
衍义：引申指“一定，无论如何”。如：总归。“万紫千红总是春”。
字义：
1.总括；汇集：～之。汇～。～起来说。把两笔账～到一块儿。
2.全部的；全面的：～账。～动员。～攻击。～罢工。～的情况对我们非常有利。
3.概括全部的；为首的；领导的：～纲。～则。～店。～工会。～路线。～司令。～书记。
4.一直；一向：天～不放晴。晚饭后他～是到湖边散步。
5.毕竟；总归：冬天～要过去，春天～会来临。小孩子～是小孩子，哪能像大人那样有力气…
（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

…结：见《欧几里得41》…
…总结：总地归结。
字义：
1.把一阶段内的工作、学习或思想中的各种经验或情况分析（xī）研究，做出有指导性的结论：～工作。～经验。
2.指总结后概括出来的结论：年终～。工作～…
（…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…概、括、概括：见《欧几里得32》…）

…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…

“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生最后说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”



“1665年，牛顿发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟（wēn）疫（yì）而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。
请看下集《欧几里得87、牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿无意于此》”

欧几里得87、牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿无意于此

“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生最后说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
…中学生最后说：之前也在说话（见《欧几里得86》）所以这里用“最后说”…

“结合努力的定义…用努力的定义进行判定…”中学生说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人。”
…判、定、判定：见《欧几里得65》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…

艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》…

人物生平

1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普（Woolsthorpe）庄园。
1648年，牛顿被送去读书。
少年时的牛顿并不是神童。他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。
1654年，牛顿进了离家有十几公里的金格斯皇家中学读书。牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书。
随着年龄的增大，牛顿越发爱好读书、沉思、做科学小实验。



迫于生活困难，母亲让牛顿停学在家务农，赡（shàn）养家庭。但牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活。每次，母亲叫牛顿同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，牛顿便恳（kěn）求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书。有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿…牛顿舅父发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题。
…赡：供给人财物——～养亲属…
…恳：1.真诚；诚恳。
2.请求…
…恳求：恳切地请求——我～他不要这样做…
…舅父：一种亲属关系的称谓，是指母亲的哥哥或弟弟，又称为舅舅或舅…

牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学，并鼓励牛顿上大学读书。牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲（jí）取着书本上的营养。



…汲：本意是指从井里打水，取水，也指形容心情急切、努力追求。
字义：从下往上打水：从井里～水…

从12 岁左右到17岁，牛顿都在金格斯皇家中学学习，在该校图书馆的窗台上还可以看见他当年的签名。他曾从学校退学，并在1659年10月回到埃尔斯索普村，因为他再度守寡的母亲想让牛顿当一名农夫。牛顿虽然顺从了母亲的意思，但据牛顿的同辈后来的叙述，耕作工作让牛顿相当不快乐。所幸金格斯皇家中学的校长亨利·斯托克斯（Henry Stokes）说服了牛顿的母亲，牛顿又被送回了学校以完成他的学业。他在18岁时完成了中学的学业，并得到了一份完美的毕业报告。

1661年6月3日，牛顿进入剑桥大学的三一学院。在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说，但牛顿更喜欢阅读一些笛卡尔等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想。
1665年，牛顿发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟（wēn）疫（yì）而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。

…瘟：形声。从疒（nè），从昷，昷亦声。“昷”意为“热”、“暖”。“疒”与“昷”联合起来表示“热病”。本义：热病（中医术语）。说明：热病是指带有体温升高即发烧症状的流行性传染病。

解释为流行性急性传染病，亦称瘟病、瘟疫、热病等。
俗语：瘟神，传说中能散播瘟疫的恶神。人们常用此来表达某人不吉利，会给别人带来灾难…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…昷：古同“温”。温和…]
…疫：《说文解字》：“疫，民皆疾也。从疒，役。”人有疾病而倚箸（zhù）之形是疒的意思。驱使兵车行动是役的意思。疒，役叠加。像兵车行动一样的疾（jí）病在流行是疫的意思。
本义：流行性急性传染病。如：瘟疫、鼠疫、防疫、检疫、疫情、免疫。
字义：流行性急性传染病的统称：防～。鼠～…
（…箸：筷子…）



…疒：《说文解字》：“倚也。人有疾病，象倚箸之形。”人有疾病而倚箸之形是疒的意思。本义：1.倚，靠着。
2.病…
…
…瘟疫（百度百科）：恶性传染病。
从古至今，人类遭遇了无数的瘟疫，其中有些瘟疫特别严重。对人类后代的影响巨大的瘟疫有：非典、鼠疫、天花、流感、霍乱、疟（nüè）疾等。总的来说，瘟疫是由于一些强烈致病性物质，如细菌、病毒引起的传染病。一般是自然灾害后，环境卫生不好引起的…
…瘟疫（百度汉语）2：流行性急性传染病的总称。
中医指容易引起广泛流行的烈性传染病。如鼠疫、天花、霍乱等…

““你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到。”莫扎特说。
请看下集《欧几里得88、沃尔夫冈·莫扎特，颠沛流离的莫扎特》”

欧几里得88、沃尔夫冈·莫扎特，颠沛流离的莫扎特

“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生最后说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
…中学生最后说：之前也在说话（见《欧几里得86》）所以这里用“最后说”…

“结合努力的定义…用努力的定义进行判定…”中学生说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人。”
…判、定、判定：见《欧几里得65》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…

艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：见《欧几里得87》。

沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特（英语：Wolfgang Amadeus Mozart，1756年1月27日～1791年12月5日）：出生于萨尔兹堡，欧洲古典音乐作曲家。
…萨尔兹堡：奥地利城市…

莫扎特乐于接受传统曲式，并对其作巧妙的运用。他在音乐史上的重要性在于重塑并定义了古典音乐…不同于巴赫的均衡完美、贝多芬的桀（jié）骜（ào）不驯。莫扎特留下的重要作品总括当时所有的音乐类型，他谱出的协奏曲、交响曲、奏鸣曲、小夜曲、嬉游曲后来成为古典音乐的主要形式。
…形、式、形式：见《欧几里得13》…

莫扎特在短短的35年生活历程里完成了600余部（首）不同体裁与形式的音乐作品。
“平均每年完成18部…”中学生说。

莫扎特的音乐体现了古典主义时期的风格，完善了多种音乐体裁形式，并与海顿一起，确立了维也纳古典乐派。

人物生平

1756年1月27日，沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特生于奥地利的萨尔茨（cí ）堡一位宫廷乐师的家庭。莫扎特的父亲列奥波尔得·莫扎特是那座城中宫廷天主教乐团的小提琴手，也是一位作曲家；母亲安娜·玛丽亚·莫扎特也热衷于音乐并会拉大提琴和小提琴。
1760年，父亲开始给予莫扎特最初的音乐教育，其中也包括一般性的文化基础教育。1761年，莫扎特首次作曲。
“你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到。”莫扎特说。



1762年，6岁的莫扎特在父亲的带领下到慕尼黑、维也纳、普雷斯堡作了一次试验性的巡回演出。
…普莱斯堡（德语：Pressburg）：即“布拉迪斯拉发”（Bratislava），是斯洛伐克共和国的首都和最大城市，面积368平方公里，人口43万（截至2019年3月底）…

1763年6月至1773年3月，莫扎特与父亲先后到德国、法国、英国、荷兰、意大利等国进行为期十年的旅行演出。这次演出让莫扎特对当时最先进的意大利歌剧、法国歌剧、德国器乐等体裁都有了认识。莫扎特还结识了J.C.巴赫、G.B.马蒂尼、G.B.萨马蒂尼等作曲家并学习到他们的作曲技术。
“莫扎特此时的作品，显示了他创作体裁的广泛性，和他对歌剧创作的兴趣…”中学生说。

1773年底，莫扎特与父亲返回萨尔茨堡。此时的莫扎特对自己卑微的奴仆乐师地位感到不满。为了争取人身与创作的自由，他经过激烈的斗争，终于在1777年9月获得大主教的同意，又随母亲进行了两年的旅行演出。

为了另谋职位，以便永远离开萨尔茨堡，莫扎特先后在慕尼黑和曼海姆教学、演出…这些经历进一步加深了莫扎特对不平等制度的认识和体会。
…曼海姆（Mannheim）：德国巴登-符腾堡州继斯图加特与卡尔斯鲁厄之后的第三大城市，人口约30万，面积144.96 平方千米…

在曼海姆时，莫扎特得到一些市民音乐家的帮助与同情，并接触到当时欧洲重要的曼海姆乐派…莫扎特听到了第一流管弦乐队的演奏。

1778年5月，莫扎特抵达巴黎。7月3日，莫扎特的母亲去世。
由于母亲病逝，加上未能谋到职位，莫扎特在1779年1月返回萨尔茨堡。
…
莫扎特在曼海姆创作了2首长笛协奏曲、1首双簧管协奏曲、7首钢琴小提琴奏鸣曲、3首钢琴奏鸣曲…这些作品反映了他受到曼海姆乐派的影响。
…
1780年，莫扎特完成歌剧《伊多梅纽》…莫扎特这一时期的作品，内容上反映了他当时受到狂飙（biāo）运动思潮的影响。
…飙：暴风…
…狂飙：急骤的暴风，比喻猛烈的潮流或力量…
…狂飙运动一般指狂飙突进运动…
…狂飙突进运动（德语：Sturm und Drang）：指1760年代晚期到1780年代早期德国新兴城市青年发动的一次文学解放运动，也是德国启蒙运动的第一次高潮。这个时期，是文艺形式从古典主义向浪漫主义过渡时的阶段，也可以说是幼稚时期的浪漫主义。
其名称来源于剧作家克林格的戏剧“狂飙突进”，但其中心代表人物是歌德和席勒，歌德的《少年维特的烦恼》是其典型代表作品，表达的是人类内心感情的冲突和奋进精神。
这次运动是由一批市民出身的青年德国作家发起的，他们受到启蒙时代影响，推崇天才，创造性的力量，并把其作为其美学观点的核心。
狂飙突进时期的作家受到当时启蒙运动的影响，特别是受到了卢梭哲学思想的影响，他们歌颂“天才”，主张“自由”、“个性解放”，提出了“返回自然”的口号。但另一方面这些年轻作家反对启蒙运动时期的社会关系，驳斥了过分强调理性的观点。这个运动持续了将近二十多年，从1765年到1795年，然后被成熟的浪漫主义运动所取代…

“1791年，莫扎特创作歌剧《蒂托的仁慈》但未获成功。9月，莫扎特完成他的最后一部歌剧《魔笛》。之后莫扎特开始创作大型宗教音乐作品《安魂曲》。
莫扎特于12月5日0时55分《安魂曲》还未完成时离奇死亡，享年35岁，入葬于维也纳。
请看下集《欧几里得89、莫扎特之死；天才就是努力的普通人》”

欧几里得89、莫扎特之死；天才就是努力的普通人

1781年6月，莫扎特再也无法忍受大主教的凌辱，毅然向大主教提出辞职（莫扎特成为欧洲历史上第一位公开摆脱宫廷束缚的音乐家），到维也纳谋生。之后他虽然名义上是一位自由作曲家，实际上仍然无力抗争封建社会对他的压迫。

生活的磨难对莫扎特的思想和创作产生了深刻的影响…在维也纳的10年，成为莫扎特创作中最重要的10年。

1782年7月，莫扎特创作的《后宫诱逃》在维也纳布尔格剧院首演。
1784年，莫扎特参加了共济会，对它所宣扬的自由、平等、博爱的思想有强烈共鸣，并在这种思想的启示下创作新型作品。
1785年，一度倒闭了的维也纳民俗歌剧院开始恢复，莫扎特有了从事歌剧创作的机会…莫扎特创作了喜剧型歌剧《剧院经理》。
1786年，莫扎特创作歌剧《费加罗的婚礼》。

1787年，莫扎特完成歌剧《唐璜（huáng）》。
…璜：古代一种玉器。半圆形…

1790年1月，莫扎特的歌剧《女人心》上演。

1791年，莫扎特创作歌剧《蒂托的仁慈》但未获成功。9月，莫扎特完成他的最后一部歌剧《魔笛》。之后莫扎特开始创作大型宗教音乐作品《安魂曲》。
莫扎特于12月5日0时55分《安魂曲》还未完成时离奇死亡，享年35岁，入葬于维也纳。



…
“牛顿、莫扎特…他们的一生，都在‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…”中学生说，“牛顿做的是自然科学…莫扎特做的是音乐…”
“牛顿、莫扎特…他们的一生，符合努力的定义…”中学生继续说，“牛顿、莫扎特…他们是努力的人。”
…努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…

“根据努力的定义…天才们也是努力的人…”中学生最后说，“或者说，是努力，让她们成为了人们眼中的天才。”

“人们对‘天才’的解释，第一种是：拥有一定的天赋，在某一个领域做出突出贡献的人（见《欧几里得55》）…”中学生说，“前文中，我们通过查资料、科学证明…证实：天才的才能不是遗传获得的；人有没有才能，是个概率事件——可能有，也可能没有…”
…天、才、天才，赋、天赋：见《欧几里得55、56》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…实：见《欧几里得7》…
…证实：基本意思是确认、证明。通常是指通过一项或者多项事实来证明一件事的真实性…
（…真、实、真实：见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…）
…概、率、概率：见《欧几里得58》…

“通过对‘努力’的探讨，我们得出了天才们拥有才能的原因：终身努力。”中学生接着说。
…
“人们对天才的第二种解释是：拥有天然资质的人（见《欧几里得55》）…”中学生说。
…天然资质：体质；身高；嗓音；肤色…
“身高、嗓音、肤色…这些东西的确是由基因决定的…后天的努力虽然能改善它们，但不能使它们发生根本改变…”中学生接着说。
…根、本、根本：见《欧几里得57》…

“正是由于这些资质…普通人即便努力…也难以拥有部分天才拥有的才能：肯尼亚人的长跑才能；博尔特的短跑才能…”中学生继续说。
…肯尼亚人的长跑才能：1968年，肯尼亚人基普·凯诺在墨西哥城奥运会上勇夺男子1500米赛跑的冠军，并且打破了这个项目的世界纪录。从那以后，基普·凯诺的同胞一直延续着他的辉煌。迄今（2020年11月29日），男子3000米场地赛跑和15公里、20公里、25公里公路赛跑的世界纪录，以及半程马拉松和全程马拉松等项目的世界纪录或世界最好成绩，都握在肯尼亚人的手中…
…尤塞恩·博尔特（Usain Bolt）：1986年8月21日生于牙买加特里洛尼，牙买加跑步运动员、足球运动员，2008、2012、2016年奥运会男子100米、200米冠军，男子100米、200米世界纪录保持者…



“体格普遍不如白人、黑人…这是黄种人在大球项目上落后于白人、黑人的一个重要原因…”中学生最后说。
…大球：指足球、篮球、排球等球类项目（跟“小球”相对）…
…小球：指乒乓球、网球、羽毛球等球类项目（跟“大球”相对）…



“不过，人的资质差异众多…‘体质、身高、嗓音’只是其中很小的一部分…”中学生说。

“其实，世界上没有资质完全相同的人，正如世上没有完全相同的树叶一样…”中学生接着说，“我们谁都可以认为，自己天资迥异…”
“因为我们就是天资迥异。”中学生最后说。
（“我们从一出生，体质、身高、嗓音…就和别人不同。”中学生说。）

“天才的第三种解释是：在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进（见《欧几里得55》）…”中学生说。
“由于努力的定义是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…第三种解释符合努力的定义…所以，第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’。”中学生最后说。

““根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”中学生接着说，“过去被称为天才的人，只是努力的普通人。”
请看下集《欧几里得90、天才的真相：天才只是努力的普通人》”

欧几里得90、天才的真相：天才只是努力的普通人

“那么，天才们是如何看待‘什么是天才’这个问题的？”中学生问。
…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…

“天才们认为自己是天才吗？”中学生接着问。

“以下是天才们的说法：”中学生说。

天才们的说法：
天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫



天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
…约瑟夫·欧纳斯特·勒南：法国宗教学家、作家、历史学家。勒南的主要成就是在历史上，著有“阿威罗伊和阿威罗伊学说”“耶稣生平”“以色列人的历史”等作品…

哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
没有加倍的勤奋，就既没有才能，也没有天才。——门捷列夫
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…

“天才们并不认为世上存在天才…天才们认为，是自己的勤奋，让自己成了世人眼中的天才。”中学生说。
…
“‘天才’的三种解释：一、拥有一定的天赋，在某一个领域做出突出贡献的人（见《欧几里得55》）。二、拥有天然资质的人（见《欧几里得55》）。三、在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进（见《欧几里得55》）…”中学生说。

“前文中，我们证实：人的才能不是上天赋予的，是人通过努力获得的…”中学生接着说，“就是说…世上并没有拥有天赋的人。”
…证、实、证实：见《欧几里得89》…

“‘拥有天然资质的人’…”中学生继续说，“‘天然资质’指体质、嗓音、肤色、身高…”
“体质、嗓音、肤色、身高是人人都有的…”中学生说，“只是每个人的体质、嗓音、肤色、身高不同而已…”
“世上没有完全相同的树叶…世上没有天然资质完全相同的两个人。”中学生最后说。

“我们通过努力…在某方面达到了自己的巅峰…但是…由于天然资质不如人，我们输给了别人…”中学生说。
“这种时候，可以尝试其它方向，继续前进…”中学生接着说，“不断尝试…总能找到自己强过别人的天然资质…”
…
“每个人都拥有天然资质…”中学生最后说，“如果‘拥有天然资质的人’是天才的话，那么…每个人都是天才。”

“排除两种解释后，我们得到天才的最终解释：在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进…”中学生说。
“由于努力的定义是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’。”中学生接着说。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…努力的定义是“朝着目标，竭尽全力、持续的做事”：见《欧几里得86》…

“把人分为天才和普通人——人们过去曾这样做…”中学生说，“根据天才的定义…人并没有‘天才’‘普通人’的区分。”
“根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”中学生接着说，“过去被称为天才的人，只是努力的普通人。”

““我们之所以认为‘越晦涩难懂的教育越优秀’，是因为…近代以来，我们接触的西方技术晦涩难懂…但是我们知道，它们很优秀…”中学生说。
请看下集《欧几里得91、严峻的大学教育：“越晦涩难懂越优秀”价值观》”