【确立正月为岁首

落下闳在实测的基础上，考订历代重大的天文数据，改革了不合理的岁首制度，改定为从孟春正月为岁首，即《太初历》一年的开始，依照春、夏、秋、冬顺序，至冬季阴历十二月底为岁终，使农事与四季的顺序相吻合，有利于农业生产发展。其次改革了置闰方法，使节令、物候与月份安排得更为准确。

《太初历》采用的岁首和科学的置闰法，中国的阴历一直沿用至今。他通过巨大天文数据测定，在天文学史上首次准确推算出135月的日、月食周期，即“朔望之会”，认为135个朔望月中，至少有23次日食，根据这个周期，人类可以对日、月食进行预报，并可校正阴历朔望。


24节气纳入历法

落下闳第一次将24节气纳入历法，此一作法，奠定了春节的基础，同时也是遗惠千秋万代的创举。

24节气是中国古代农业学的一大独特的创造，完整的记载于《淮南子·天文训》（公元前140年左右），几千年来对中国的农牧业生产和人民生活起了极为重要的作用。

落下闳的贡献是将24节气这个告诉人们太阳移到黄道上24个具有季节意义的位置的日期，首次编入《太初历》之中，并规定节气（即立春、惊蛰、24节气中是奇数项的气）可以在上月的下半月或本月的上半月出现；而中气（即雨水、春分、谷雨等，24节气中是偶数项的气）一定要在本月出现，如果遇到没有中气的月份，可以定为上月的闰月。

这种置闰原则一直沿用一千多年。北齐（公元 550--577年）张子信发现太阳视运动不均匀现象。现在知道因为地球公转轨道是椭圆，所以节气间隔的字排也应是不均匀的，这称为定气。

直到清朝才开始在历法中使用定气，从而对“落下闳置闰法”作了改进：即在农历中除11月（冬月）、12月（腊月）和1月（正月）这三个月之外，其外，其余9个月仍采用落下闳制订的“以无中气月置闰”的方法。

落下闳制定11月，以正月为岁首，以没有中气的月份为闰月，以135个月为交食周期。这些特点都是开创性的。有些已成为传统，至今仍在发挥功能，例如，中国人的春节（元旦）、过大年。落下闳的贡献在农业中、生活中发挥直接的指导作用。

】

计算方法

农历闰月、闰周、闰年


闰月

闰月指的是阴阳历中的一种现象，阴阳历是按照月亮的圆缺即朔望月安排大月和小月，一个朔望月的长度是29.5306日，是月相盈亏的周期。

阴阳历规定，大月30天，小月29天，这样一年12个月共354天，这样十二个朔望月构成汉历年，长度为29.5306×12=354.3672日，比回归年365.2422日少10.88天（即将近11天），每个月少0.91天（近1天）。

阴阳历的月份没有季节意义，一年与阳历的一年相差11天，只需经过17年，阴阳历日期就同季节发生倒置。

譬如，某年新年是在瑞雪纷飞中度过，17年后，便要摇扇过新年了。使用这样的历法，自然是无法满足农业生产的需要的。

所以我国的阴阳历自秦汉以来，一直和24节气并行，用24节气来指导农业生产。

如果按十三个朔望月构成农历年，长度为29.5306×13=383.8978日，比回归年又多出18天多。

按上述规定制定历法，就会出现天时与历法不合、时序错乱颠倒的怪现象。这就是矛盾之处。

为了克服这一缺点，我们的祖先在天文观测的基础上，找出了“闰月”的办法，保证农历年的正月到三月为春季，四月到六月为夏季，七月到九月为秋季，十月到腊月为冬季，也同时保证了农历岁首在冬末春初（以上均指农历月份）。


闰周

设置闰月的周期。在阴阳历即中国通用的农历中，12个朔望月比一回归年约少11天，需要设置闰月来调整季节。

在春秋战国时，人们发现19个回归年（见年）与235个朔望月（见月）非常接近。“四分历”就是按二者完全相等来制订的，19年中安排7个闰月，它的闰周就是19年7闰。

但是，闰周的名称古人很少使用，古人称19为章岁，7为章闰。后人把章岁和章闰合称为闰周。


闰周概述

随着科学发展，19年7闰显得粗略，人们就寻求更精密的闰周。北凉赵?首次创用600年221闰的闰周。祖冲之改用391年144闰，比赵?更精密。此后19年7闰法就废了。

中国可能在战国时已经发明二十四节气，其中有十二个中气。西汉制定《太初历》时，规定以无中气之月为闰月，此后都采用这种置闰方法。

这时，新的闰周是更精密地测定回归年和朔望月之后的自然结果。它对于安排闰月来说意义就不大了。从唐李淳风的《麟德历》起，就不再定闰周。


历史意义

现行公历的400年97闰日法，相当于中国古代传统历法的“闰周”。具体是：加在公元年号能被4整除的年份（世纪年除外），世纪年被400整除的年份。

闰年

夏历（农历）“闰月”与西历（阳历）“闰年”

如果不注意，大概很多人认为“闰月”与“闰年”是一个意思，其实不是，虽说只是一字之差，所包含的意思却相差很远。

世界上的历法共有三类：

一类是阳历，就是以地球绕太阳运转一圈的时间为一年，年的月数和月的日数可人为规定；

一类是阴历，就是以月球绕地球运转一圈的时间为一个月，只有年的月数可以人为地规定；

第三类是阴阳历，就是以月球平均绕地球转一圈的时间为一月，但通过设置闰月，使一年的平均天数又与地球平均绕太阳转一圈的时间相等，如中国的汉历、藏历。


西历“闰年”：我们通常所说的一年365天，其实是个约数，准确的数字应是365.2422日。那么一年365天，就比实际的一年少0.2422日，这样四年之后就比实际的一年少了近一天。

为了弥补这个差值，历法中规定，4年设一闰，即能被4整除的年份为闰年，另附加规定，凡遇世纪年(末尾数字为两个零的年份)，必须能被400所整除才算闰年，其它的整百年不是闰年，即“百年不闰”。

如1996年即闰年，2000年也是闰年，而1700年则不是闰年。阳历闰年的二月有29天，2月29日为闰日，阳历闰年有366天。也就是说阳历闰年的二月并不叫闰二月。


说“闰月”，则为阴阳历（汉历、藏历等）所特有。

闰月（Leap Month）：是一种历法置闰方式。在亚洲（尤其在中国），闰月特指夏历（民间亦称农历）每逢闰年增加的一个月（为了协调回归年与夏历年的矛盾，防止夏历年月与回归年及四季脱节，每2至3年置1闰。

古代曾采用19年置7闰的闰周，到唐代的《麟德历》时废除了固定闰周，采用无节令月置闰，因此是该闰时置闰）。有时，闰月也指公历的闰年中包含闰日的月份（即公历闰年的2月）。

中国夏历（农历）作为阴阳历的一种，每月的天数依照月亏而定，一年的时间以12个月为基准，平年比一回归年少约11天。

为了合上地球围绕太阳运行周期即回归年，每隔2到4年，增加一个月，增加的这个月为闰月。闰月加到哪个月，以农历历法规则推断，主要依照与农历的二十四节气相符合来确定。

在加有闰月的那一年有13个月，历年长度为383至385日，这一年也称为闰年。如1984年鼠年的农历中，有两个十月，通常成为前十月和后十月（即闰月）。


关于中国的农历（实际应叫做夏历），许多人存在着误解，常常把农历混同于阴历。

中国的夏历并不是阴历，而是阴阳历。夏历中的阴历成份和阳历成份各有用处，阴历可以指明月亮的盈亏，还可以预告潮汐的大小；阳历部分是二十四节气可以知道季节和一年天数。

其中，二十四节气就是中国古代的一大发明，它表明了地球在轨道上的位置，反映了太阳的周年视运动，最适合指导农事活动，因此作为阴阳合历的中国传统历法才叫做夏历（农历）。所以，农历并不等同于阴历，如果把农历称为阴历就不妥当了。

太阳、月亮是人们挂在天上的日历。年复一年，地球围绕着太阳不停运转，地球上的万物也在日月轮回中生息繁衍。


农历闰年闰月的推算，3年一闰，5年二闰，19年七闰；农历基本上19年为一周期对应于公历同一时间。如公历的2001年5月27日、1982年5月27日和1963年5月27日这个日子，都是闰四月初五。

农历的历年长度是以回归年为准的，但一个回归年比12个朔望月的日数多，而比13个朔望月短，古代天文学家在编制农历时，为使一个月中任何一天都含有月相的意义，即初一是无月的夜晚，十五左右都是圆月，就以朔望月为主，同时兼顾季节时令。

一般是“十九年七闰”，实际上会更复杂，七个闰月安插到十九年当中，其安插方法可是有讲究的。农历闰月的安插，自古以来完全是人为的规定，历代对闰月的安插也不尽相同。

秦代以前，曾把闰月放在一年的末尾，叫做“十三月”。

汉初把闰月放在九月之后，叫做“后九月”。

到了汉武帝太初元年，又把闰月分插在一年中的各月。以后又规定“不包含中气的月份作为前一个月的闰月”，直到现在仍沿用这个规定。

闰月计算法

置闰法

置闰，是中国古代历法为调节阴历与太阳运行周期的巨大差距而采取的在某些年中增加阴历月数的方法。阴历每月为29.53天，而地球绕太阳一周（太阳年）为365.2422天，如果阴历12个月为一年，则每年就比太阳年少11天，3年少33天。

就是说太阳年比阴历年多出了一个月有余。30年就多出11个月，33年就多出了一年。为了“填补”这个差距，古人根据阴历和阳历的岁差，在适当的年份里增加一个月（即人为规定这一年有13个月），这种方法就叫“置闰”。

由于太阳运行周期不是月相变化周期的整倍数，置闰是历法中非常复杂、繁难的学问。我国从公元前2600多年前黄帝时代开始记年，前2350年前（尧帝）开始以置闰调整阴阳历，但直到祖冲之时代（462年）才有了精密的置闰之法。

南朝宋大明六年(462)，大科学家祖冲之制定的《大明历》，采用20组19年7闰插入1组11年4闰，计391年144闰；唐代李淳风的《德麟历》始改为“在缺中气之月置闰”，实际上仍保持19年7闰的基本格局，沿用至今。傣历采用“平朔法”、单月大，双月小，固定闰九月，比夏历早3个月，推测系从太初历脱胎而来。

我国古代长期采用阴阳合历，它根据月亮的盈亏变化定月，平年12个月，6个大月30天，叫“大尽”；6个小月各29天，叫“小尽”；全年354天。这比太阳年(365.2422天)要少约10天21小时。

为此古人采取置闰的办法加以调整，开始时每三年闰一个月，五年闰两个月，春秋中叶后规定十九年闰七个月·每逢闰年加的一个月叫“闰月”，闰月加于某月之后叫“闰某月”。通过置闰可使历年的平均长度约等于一个太阳年，并和自然季节大致吻合。


置闰规则

在古代，日的定义：以地球自转一周为一日。其中以太阳离地平线最远的一个时辰为子时，相当于北京时间23:00~1:00。但是农历中一天始于子正（24:00），而非夜子初（23:00）。

月策与置末规则：朔日为每月起点（初一日）；朔日（月初一日）到下个朔日（下月初一日）有多少天、这月就有多少天。有30天为大月、有29天为小月；唐朝武德二年（公元619年）以前用的是平朔，武德二年（公元619年）以后用的是定朔。

年策与置闰规则：以冬至日必须在子月（寅正十一月），上个冬至月（寅正十一月）到下个冬至月如有12个月就不置闰。如有13个月就要置闰，以上个冬至月之后第一个无中气的月份为闰月，在几月后面就称闰几月。

例如：壬子年（2032）冬至月到癸丑年（2033）冬至月之间有12个月，就不置闰。

癸丑年（2033）冬至月到甲寅年（2034）冬至月有13个月就必须置闰。

在癸丑年（2033）冬至月（十一月）后的第一个无中气之月是该月的下一个月，就定为闰月。它正好十一月后，所以就叫闰十一月。

为什么采取“十九年七闰”的方法呢？

农历属于阴阳历：其年份分为平年和闰年。平年和闰年。平年为12个月；闰年为13个月。月份分为大月和小月，大月30天，小月29天，其平均历月等于一个朔望月。

一年中哪个月大，哪个月小，年年不同，由计算决定，平年全年354~355天，闰年全年383~384天。由于12个朔望月为一年的天数比太阳年约差11天，所以设置闰月以使平均历年为一个回归年。

一个朔望月平均是29.5306日，一个回归年有12.368个朔望月，0.368小数部分的渐进分数是1/2 、1/3 、3/8 、4/11 、7/19 、46/125， 即每二年加一个闰月，或每三年加一个闰月，或每八年加三个闰月……

经过推算，十九年加七个闰月比较合适。因为十九个回归年=6939.6018日，而十九个农历年（加七个闰月后）共有235个朔望月，等于6939.6910日，这样二者就差不多了。

农历年中月以朔望月长度29.5306日为基础，所以大月为30日，小月为29日。为保证每月的头一天（初一）必须是朔日，就使得大小月的安排不固定，而需要通过严格的观测和计算来确定。

因此，农历中连续两个月是大月或是小月的事是常有的，甚至还出现过如1990年三、四月是小月，九、十、十一、十二连续四个月是大月的罕见特例。

【闰周，设置闰月的周期。《太初历》时的19年7闰显得粗略，人们就寻求更精密的闰周。

北凉赵?首次创用600年221闰的闰周。祖冲之改用391年144闰，比赵?更精密。此后19年7闰法就废了。中国可能在战国时已经发明二十四节气，其中有十二个中气。

西汉制定《太初历》时，规定以无中气之月为闰月，此后都采用这种置闰方法。这时，新的闰周是更精密地测定回归年和朔望月之后的自然结果。它对于安排闰月来说意义就不大了。从唐李淳风的《麟德历》起，就不再定闰周。】

推算“十九年七闰”

为了解决阴阳历中置闰的问题，产生了一个算法“通其率”，即“落下闳算法”，也叫辗转相除法，或“欧几里德算法”（至于怎么来的，都说是“古希腊”传给中国的，相信吗？）

“更相减损术”也是由此而来的，并因此衍生了一系列的算法！


具体计算方法：

一个朔望月平均是29.5306日，一个回归年有12.368个朔望月，0.368小数部分的渐进分数是1/2 、1/3 、3/8 、4/11 、7/19 、46/125， 即每二年加一个闰月，或每三年加一个闰月，或每八年加三个闰月……

经过推算，十九年加七个闰月比较合适。因为十九个回归年=6939.6018日，而十九个农历年（加七个闰月后）共有235个朔望月，等于6939.6910日，这样二者就差不多了。


怎么算呢？

最好的办法就是求出回归年日数与朔望月的日数的最小公倍数：我们希望m个回归年的天数与n个朔望月的天数相等，也就是应有等式：

m×365.2422=n×29.5306

在这个等式中我们不能直接求出m和n，但可以求出它们的比例：

M /N＝29.5306 /365.2422

其近似值为：3/37、5/62、8/99、11/136、14/173、19/235、27/334


在这些分式中，分子表示回归年的数目，分母表示朔望月的数目。

例如第六个分数式 19/235 = 19/（19×12＋7）

表示19个回归年中必须加7个闰月。


19个回归年中加7个闰月的结果比较：

19个回归年=19×365.2422=6939.6018(天)

一个朔望月有29.5306天，235个朔望月=235×29.5306=6939.6910(天)

19个回归年中加7个闰月后，矛盾消除得只差：6939.6910-6939.6018=0.0892（天）——即2小时9分多，这已经是够精确的了。


所以，农历就采用了19年加7个闰月的办法，即“十九年七闰法”，把回归年与农历年很好地协调起来，使农历的元旦（春节）总保持在冬末春初。古人把235个朔望月称之为“闰周”。

农历置闰的方法可以使农历年的平均长度接近回归年，而农历中的月又有鲜明的月相特征，保持了阳历和阴历两全其美的特点。

农历闰哪个月？决定于一年中的二十四个节气。

我国农历将二十四个节气分为十二个节气和十二个中气。

现在的置闰方法是两个冬至之间，如仅有12个月则不置闰，若有13个月即置闰。置闰的月从“冬至”开始，当出现第一个没有“中气”的月份，这个月就是闰月，其名称是在前个月的前面加一个“闰”字。

农历以月亮为周期（阴历），十二个月历总共约有354天；再配合年历（阳历），年历则是根据地球公转所形成的四季变化而得的周期所编制。而月历较年历短，两者相差了11天，因此，便要每19年加多7个闰月来填补误差。

而决定哪一个月做闰月，则依24节气而定，农历月份通常包含一个节气和一个中气，如惊蛰/春分等等，若某农历月份只有节气而没有中气，历法便会把该月作为上个月的闰月。以2006年为例，农历七月之后正好有一个只有节气而没有中气的月份，因此便置闰七月来调整误差。

二十四节气在农历中的日期是逐月推迟的，于是有的农历月份，中气落在月末，下个月就没有中气。

一般每过两年多就有一个没有中气的月，这正好和需要加闰月的年头相符。所以农历就规定把没有中气的那个月作为闰月。

例如：

2001年5月21日，农历四月二十九日，是中气小满，再隔一个月后，6月21日农历五月初一才是下一个中气夏至。

而当中这一个月（2001年5月23日——2001年6月20日）没有中气，就定为闰月。因为它跟在四月后面，所以叫闰四月。

闰月概览

公元前104年（汉武帝太初元年），汉武帝发现之前的此前的颛顼历，以建亥为岁首（即农历十月）已不适用，随任命司马迁以太史令身分和中大夫孙卿、壶遂及历官邓平、落下闳、天文学家唐都等二十余人，改革历法。经这批专家通力合作，反复计算、选择，终于在这年五月颁布新历《太初历》。

《太初历》改以正月为一岁之首（秦历以十月为一岁之始），一月的日数为29.53天，一岁一年的日数是354.36天，这是当时世界上最先进的历法，也是中国历法史上进行的第一次大改革。

在1645年以前，农历使用平气注历，各月之后出现闰月的概率相等。之后使用定气注历，各月出现闰月的概率变为不相等。以下是1645年至2644年一千年间各闰月的统计。

公元1645-2644年间各闰月出现次数统计表：

闰月 出现次数

闰正月 6次
闰二月 23次
闰三月 47次
闰四月 61次
闰五月 74次
闰六月 59次
闰七月 51次
闰八月 26次
闰九月 8次
闰十月 9次
闰冬月 5次
闰腊月 0次

由上可见，夏半年闰月多，冬半年闰月少，原因就是地球远日点出现在7月初（夏至到小暑之间），近日点出现在1月初（冬至到小寒之间），所以夏季地球公转速度较慢，出现无中气月的概率就要大一些。但由于近日点和远日点是不停移动的，因此在假定未来置闰规则不变的前提下，远期的农历各闰月出现频率会与现在不同。

特殊闰月

（1）如果一年闰正月，原则上春节、元宵节过第一个正月的，到了闰正月的时候则不过节。

当然，也有少数地区过完第一个正月的春节、元宵节以后，到了闰正月的时候也过闰正月的春节、元宵节，因为闰正月也叫正月，所以也把闰正月的初一、十五也看做春节、元宵节来过。这都是可以理解的。

（2）如果一年闰腊月，那么，除夕过第二个腊月的最后一天，因为第二个腊月的最后一天才是整个农历年的最后一天。

2033年

中国传统历法排定次序，首先确定两个冬至之间岁实长度，然后排定历月，再看两个冬至之间除去两个冬至所在月外有多少个整月(必定是十一个或者十二个。虽然民间以正月初一为岁首，但是官方排定历法却是以两个连续的冬至为始终)。

如果是十一个整月，则无需置闰，即使出现无中气的月也无需置闰。

如果有十二个整月则需置闰，此时置闰依照“无中气规则”，而且闰前不闰后。

由于这十二个整月中，只有除了冬至以外的十一个中气，所以至少有一个月无中气。这十二个月中第一个无中气的月为闰月，它的名字叫“闰x月”，这个x，是它前一个月的名字。

月序的确定，是以冬至所在月为子，依照地支顺序，下一个月为丑，再下一个月为寅，如此类推，到下一个冬至所在月又回到了子。

由于汉以后的历法都是建寅，以寅月为正月，这样冬至所在月必然是十一月。可见所谓的“冬至所在月必然是十一月”并不是什么规则，而是历法排定方法中，“冬至所在月为子月(汉代开始)”、“以寅月为正月”、“当两个冬至点之间(不包括两个冬至点)在月份，还有十二个整月时，要以第一个无中气月为闰月”而导致的自然出现的结果。


按照这样的历法排定方法来分析2033年的情况：

由于2032年冬至(公历2032年12月21日)到2033年冬至(公历2033年12月21日)除去两个冬至所在月份外，只有十一个整月，所以在此期间无需置闰，即使有无中气的月，也无需置闰，这就是2033年为什么没有闰七月。

由于2033年冬至(公历2033年12月21日)到2034年冬至(公历2034年12月22日)除去两个冬至所在月份外，有十二个整月，所以在此期间需要置闰。

需要置闰时才采用“无中气规则”，如果出现2个以及2个以上无中气的月，那么在第一个无中气的月设置为闰月。如果闰七月，那么冬至将落在十月，不符合农历的岁时标准。

而且这十二个整月中第一个无中气的月是2033年冬至以后的那个月(2033年12月22日--2034年1月19日)，它的前一个月是农历2033年(癸丑年)十一月，所以这个月是农历2033年(癸丑年)闰十一月。

这就是农历2033年(癸丑年)闰十一月的来历。所以在编排农历历法时，无中气的月，并不一定要置闰。


2319年

2319年将迎来史上最晚的春节：2月21日。就目前的节气分布来讲，要同时具备三个条件：

（1）公历上一年12月23日冬至；
（2）冬至当天是冬月初一；
（3）冬月、腊月都是大月。

就目前公农历的各自特点而言，以上三个条件除了条件3相对常见以外，条件1和条件2本身就已经是小概率事件。

同时满足三个更是难上加难，这便导致2319年春节是千年一遇的最晚春节，下一次出现在3416年。

阴阳历中关于月亮部分的“平朔”与“定朔”

平朔

平朔是古代中国阴阳历中，确定每月第一天（初一、朔日）的一种计算方法。也称为恒朔。根据月相变化周期的长度（朔望月=29.53059天），尽量将新月（“朔”）出现的当天作为初一，然后配置大月（30日）、小月（29日）。

平朔的计算方法没有考虑到日月的运行差距。

因此，这样定出的历法存在偏差，真正的新月（“朔”）有时可能会出现在前一月的最后一日（“晦日”、廿九日或卅日），有时会出现在初二。

这种情况下，日食会出现在晦日或者初二，后来的历法中导入了定朔的方法。

朔望月是阴历和阴阳历的基本时间单位，它是接连两次朔或两次望之间的时间，平均日数等于29.53平太阳日。

古代历法用朔望月的平均日数（约29.53日）推算每月的朔日，这样推算所得的朔叫做平朔。大月三十日，小月二十九日，通常大月和小月轮流交替，每相隔十七个月或十五个月，有一次连续两个大月，称为频大月。

由于月行速度在一个近点月内时时变动，日行速度在一个回归年内也有快慢，日月合朔就未必在平朔这一天，所以历史上记载的日食或在上月的晦日，或在本月的初二。

平朔法一直用到唐初，唐武德二年，傅仁均造戊寅历才用定朔，后由于贞观十九年九月以后，有四个月连续是大月，历家认为不是平常应有的现象，所以又恢复用平朔。到了李淳风的麟德历再用定朔。一直沿用至今。

定朔

定朔：古代中国传统历法中，确定每月第一天（初一、朔日）的一种计算方法，与平朔相对。这种算法的原则是，将太阳黄经和月球黄经相同（日月合朔）的时刻称为“朔”，将含“朔”的当天称为“朔日”，作为每月的第一天（初一）。

来历

图 农历上半月月相



图 农历下半月月相




南朝刘宋何承天撰元嘉历，主张废“平朔”而用“定朔”，也就是以日月黄经相等的时刻定为“朔”，以这天为“朔日”。以日月黄经相差一百八十度的时刻为“望”，以这天为“望日”。之前用平朔虽然一大一小甚有规则，但和天象不符，用定朔则日食一定发生在朔日，月食一定发生在望日。

太史令钱乐之和兼丞严粲等虽然认为元嘉历优点很多，可以颁行，但提出批评：“每月朔望及弦皆定大小余，于推交会时刻虽审，皆用盈缩则月有频三大，频二小，比旧法殊为异。”请何承天考虑修改。员外散骑郞皮延宗也不赞成用定朔，最后何承天仍用平朔法。

梁朝虞 造历主张“月朔以迟疾定具小余，有三大二小”，因侯景之乱，新历未及施行。北齐信都芳私撰灵宪历，用定朔，称：“何承天亦用此法而不能精，灵宪若成，必当百代无异议者。”但历法还没完成他就亡故。

唐代以前的历法都用“平朔”，只知道月有一大一小，何承天、刘孝孙、刘焯等虽然建议用定朔，但时人墨守旧法，骤创新法，扜格不入，难于实行。

唐武德二年，傅仁均造戊寅历才用“定朔”，后由于贞观十九年九月以后，有四个月连续是大月，历家认为不是平常应有的现象，所以又恢复用平朔。

到了李淳风的麟德历再用“定朔”，但作了进朔迁就的方法，以避免四个月连大的现象。之后定朔作为传统历法的基本算法，一直沿用至今。

图 农历二十四节气、大小月原因图




算法

将太阳黄经和月球黄经相同（日月合朔）的时刻称为“朔”，将含“朔”的当天称为“朔日”，作为每月的第一天即初一。

图 我国传统历法根据先后二次合朔间隔的日数，定大月或小月

月相

图 农历月相变化规律

由于月行速度在一近点月内时时变动，日行速度在一回归年内也有快慢，日月合朔就未必在平朔这一天，所以历史上记载的日食或在上月的晦日，或在本月的初二。因此这种算法考虑了太阳运行和月球运行的不均等性，将含有真正“朔”的当天作为每月的开始，反映了真实的天象。

【因为，古代中国传统历法中，定朔确定每月第一天（初一）为朔日，将太阳黄经和月球黄经相同（日月合朔）的时刻称为“朔”，将含“朔”的当天称为“朔日”。

所以，每个月的月圆就不一定在十五了，如果将月圆规定在每月十五日，那么每月初一日就不一定是“朔日”了，为了更符合月相，中国历法最后采用了“定朔”法，将每月第一天规定为“朔日”。

出没歌

三辰五巳八午真，初十出未十三申。
十五酉上十八戌，二十亥上记斜神。
二十三日子时出，二十六日丑时行。
二十八日寅时正，三十加来卯上轮。

月起时刻歌：

十五十六月团圆
十七十八，月起更发
十九二十，月起亥时】


问题解答

坊间偶有疑问说这年没有“大年三十”，那年又有“大年三十”，这是为何？另有人言其“大尽”与“小尽”之不同所致。其实农历每年的大小月都是不同的，农历规定每月初一日必定是天文学上准确的日月合朔之日。所以计算农历的大小月又称作定朔。

农历的每月初一日称作朔日，每月的最后一天则称作晦日（这里的晦指无月而晦暗无光之意，无关吉凶）所以农历一年的最后一天称作大晦日、年除日（除日晚上就称作除夕）准确来说除夕是农历每年十二月晦日，日期每年都是固定一致的。这样说来，有人或许会问了，除夕有时是农历十二月廿九日有时是十二月三十日，怎么能说是固定的？明明不固定的！

其实道理是这样的，不管除夕是在农历十二月廿九日还是三十日，那天都是农历十二月晦日，所以真的是固定的。至于说“大年三十”只是民间的一种俗称，而不是正式的称呼。因为农历大月是三十天，所以用那个俗称可以毫无歧义的表明是农历十二月的最后一天，因为如果当年农历十二月是大月，则除夕正是十二月三十日。但是当农历某年十二月正好是小月时，则十二月廿九日就是除夕日。俗称中依旧可作“大年三十”，这是习惯称呼而已。但是呼吁使用除夕、除日、岁除这类称呼，因为可以有效的避免一些误区。

至于如果说某年农历十二月恰为小月，而将十二月廿九日称作“大年三十”反推将农历十二月廿八日称作“大年二十九”这种做法和称呼严格来说是并不恰当的，应该予以纠正和避免。因为农历是一种很完善实用的历法，使用农历时就是使用农历的日期为准的。所以如果某年农历十二月恰逢小月，十二月廿八日可以称作“腊月廿八”下一天仍旧是“腊月廿九”并且是除夕之日。这样的用法才是正确使用农历的方法。如果可以注意一下这些微小的细节也会比较有利于中华传统文化的传承和延续。


【定朔，发现岁差，定气，废除闰周，废除上元积年，定气注历等都是农历史上很重要的事件。

古代的农历版本中为了算准定朔，首先要计算太阳表，就是定气，修正。

中国古代历法的历理是追求和实际天象的吻合度，以天文观测为制历数据的依据，其实就是追求高经度日月星历表，所以使用定气注历也是迟早的事。

值得一提的是，我国农历在历史上的几次变革都经历反复和争论才逐渐定下的，使用定朔是这样，废除闰周也是，民用历谱用定气注历也是这样的。

其实明末的崇祯历书中就开始用定气注历了，但是还没等实施明朝就灭亡了。

天文观测中，视太阳运动不均匀性不明显，所以发现有难度，月球不均匀运动相比之下明显，所以定朔先于定气早发现。

平气和定气相差不明显，而平朔和定朔相差相对明显一些。

平气的间距一直都是30.43685天，定气的间距有时是29天多，有时是31天多！

平气和定气相差不多是指气候变化平气和定气的相差不多，比如气温变化，平冬至和定冬至日的气温变化差不多。

当然定气比平气更合理，更科学，所以农历最终使用定气注历，编历了。

但是直至今天仍未找到定朔公式。

不过，《天文算法》一书里，已经有高精度的计算方法了。《寿星天文历》就是主要参考《天文算法》一书的星历计算原理编程的。若需更高精度的星历表，可参考《DE405/406》。这些资料，网上都是公开免费的（我不会天文计算，仅懂得些天文知识）。

】

【“落下闳算法”，更相减损术、辗转相除法，又叫欧几里德算法，大衍求一术，方程术等算法


农历中为了解决月亮历平年354天，与太阳一回归年365天之间相差11天的问题，需要在阴历年中置闰，经过推算，“十九年七闰”置闰法比较符合（置闰规则为以不含二十四节气之中气的月份为闰月。由于一回归年为12.368个朔望月，0.368＝368/1000＝46/125，即125个回归年的话，正好余出46个朔望月，所以在125年中应设置46个闰年。但因为这样设闰太过复杂，经推算，7/19最接近0.368。故产生19年7闰的规律。）。

也因此出现了“落下闳算法”，即通其率（更相减损术的基础，辗转相除法，又叫欧几里德算法）


落下闳算法

落下闳在数学方面，发明“连分数（辗转相除）求渐进分数”的方法，定名“通其率”，现代学者称之为“落下闳算法”。“落下闳算法”比采用类似方法的印度数学家爱雅哈塔早600年，比提出连分数理论的意大利数学家朋柏里早1600年，它影响中国天文数学2000年。

他发明的“通其率”算法，用辗转相除法求渐近分数，为历法计算提供了有力的工具。应用辗转相除法求渐近分数，与应用连分数法求渐近分数其计算程序是一致的。在《汉书·律历志》中称“闳运算转历”，可见《太初历》的数学运算是由落下闳承担的，包括日法81的计算、“上元积年”的计算、太极上元“的计算，等等。

吕子方研究得出，日法81的计算是来自于连分数求出渐近分数。日本学者新城新藏在《东洋天文学史》第八编第六节”三统上元与超辰法“中，提出落下闳是通过求解不定方程，计算”上元积年“。

李文林、袁向东提出，有可能”上元积年“是作为一次同余式求解。吕子方提出”太极上元“的计算落下闳也是应用的连分数求出渐近分数。这种算法落下闳本人称之为”通其率“。数学家何鲁为吕子方《〈三统历〉历意及其数源》一文作序时写道：“‘通其率’三字即有求连分数意。

率者，比率。通，谓可通用者，其数甚多，取其适者或密近者，可也。”中国数学史界经过20世纪后半叶约半个世纪的探索讨论，已认定：“通其率算法不仅是天算家简化分数数据的重要方法，亦是处理周期现象中一次同余问题的有力工具。

“我们可以公正地称“通其率”算法为“落下闳算法”。

“落下闳算法”的主在要程序，即通过辗转相除求出一系列渐近分数，用以解决多种数学问题。

中国古代历法计算中的“强弱术”“调日法”“求一术”等等，都？源于“落下闳算法”。从现代数学和观点看，“落下闳算法”可以实现用“有理数逼近实数”，以及“最佳逼近”等，是具有普通意义的数学方法。


我们上面求得的“十九年七闰法”的过程就是“落下闳算法”，即“通其率”，也叫辗转相除法，现在被称为“欧几里德算法”。

更相减损术：

《九章》中主要是利用“更相减损术”来约分，所以它完全包含在“约分术”中：“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”就是求出分子、分母的最大公因子（等数），然后分子分母同除以最大公因子。

刘徽在《九章算术注》中曾明确指出，“更相减损术”的原理在于：在运算过程中，整数逐步减小，但其等数却始终保持不变。

顺便提一句，《九章》中主要是利用“更相减损术”来约分，所以它完全包含在“约分术”中：“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”就是求出分子、分母的最大公因子（等数），然后分子分母同除以最大公因子。


大衍求一术：

北宋数学家秦九韶发明了一种求一术，他在1247年出版的《数书九章》中命名为“大衍求一术”（“大衍”的来由：在序言中，秦九韶把这一方法与《周易》“大衍之数”附会）。后来，清代数学家黄宗宪进一步简化了秦九韶的方法。秦九韶‐黄宗宪的求一术与求最大公因子的“欧几里得算法”是相通的。

秦九韶的求一术可能脱胎于“方程术”。“方程术”出自《九章算术》第八章，这一章详述了线性联立方程组的解法并引进了负数。按现代语言，“方程”这一术语的最好解释就是“方阵”。

实际上，“方”的字面意义为正方形或矩形。“程”，按刘徽在《九章算术注》里的解释, 就是把数据在盘上摆成矩阵：“并列为行, 故谓之方程”。 因此，解法便是纵横移动算筹，如我们上面所展示的那样。

再到“天元术”，“四元术”。】

【历法改革：天文数据的精确化、历法数据表格及其计算法的逐步公式化


因为中国的历法是阴阳合历的性质决定，历算与实际天象有关，天文与数学密切相关，因天文产生了众多算法和公式。


为了让阴历的354天符合太阳一回归年的长度365天数，更好的安排闰月，产生了“落下闳算法”，也被称作辗转相除法，还叫“欧几里德算法”，至于“古希腊”怎么得来的这个算法，只有它们自己知道了，至今这个出自中国历法的“落下闳算法”，还被命名为外国的名字，就这样被盗走了成果，还以为这种算法是外来的。

然后，以此演变为“更相减损术”，“大衍求一术”，“天元术”，再到“四元术”，还与“方程术”有关。

除了这些，还产生了很多算法、公式，不少与二十四节气相关的数值运算，黄道、赤道宿度换算等等，下面会讲到。


汉代

《太初历》的编制是中国历法史上的第一次大改革。它是汉武帝太初元年（公元前104年）至东汉章帝元和二年（公元85年）实施的历法。以天象实测和多年天文记录为依据，规定一回归年为365.25016日，一朔望月等于29.53086日，武帝以司马迁、星官射姓、历官邓平和民间历算家唐都、落下闳等二十余人修改历法。太初历原著已失传。

太初历所测定的二十八宿赤道距度(赤经差)值，一直沿用了800多年，直到唐开元十三年才被一行重新测定韵值所取代。

太初历的基本常数是，一朔望月为29.4381日，所以叫做八十一分法，或八十一分律历。这个朔望月的日数比战国时期四分历的朔望月日数更大，当然是不够精确的，但太初历的颁布施行是经过考验的。昭帝元凤三年（公元前78年），太史令张寿王反对施行太初历，主张用殷历。经考验后，因殷历疏远而仍用太初历。

太初历已具备了气朔、闰法、五星、交食周期等内容。它首次提出了以没有中气（雨水、春分、谷雨等十二节气）的月份为闰月的原则，把季节和月份的关系调整得十分合理，在农历（夏历）中一直沿用。

太初历还第一次明确提出了135个朔望月中有23个食季的食周概念，关于五星会合周期的精度也较前有明显提高，并且依据五星在一个会合周期内动态的认识，建立了一套推算五星位置的历法。这些都为后世历法树立了范例。

刘洪（约135—约210年），字元卓，泰山蒙阴（今山东蒙阴县）人，是东汉后期著名的天文学家。

东汉伊始，天文学界一直十分活跃，关于天文历法的论争接连不断，在月亮运动、交食周期、冬至太阳所在宿度、历元等一系列问题上展开了广泛的探索，孕育着一场新的突破。在这种历史背景下，刘洪经过20多年的潜心观测研究，终于在206年最后完成了他的乾象历，它的出现可视作这场长期论争的良好总结，是实现了新突破的标志。归纳起来，刘洪及其乾象历在如下九个方面取得了重大的进展：(23)

第一，刘洪发现以往各历法的回归年长度值均偏大，在乾象历中，他定出了365.2468日的新值，较为准确，从而结束了回归年长度测定精度长期徘徊以致倒退的局面，并开拓了后世该值研究的正确方向。

第二，他肯定了前人关于月亮运动不均匀性的认识，在重新测算的基础上，最早明确定出了月亮两次通过近地点的时距（近点月长度）为27.5534日的数值，并首创了对月亮运动不均匀进行改正计算的数值表（月离表），即月亮过近地点以后每隔一日月亮的实际行度与平均行度之差的数值表，为计算月亮的真实运行度数提供了切实可行的方法，亦为我国古代该论题的传统计算法奠定了基石。

第三，他指出月亮是沿自己特有的轨道（白道）运动的，白道与黄道之间的夹角约为6度，这同现今得到的测量结果已比较接近。他还定出了一个白道离黄道内外度的数值表，据此，可以计算任一时刻月亮距黄道南北的度数。

第四，他阐明了黄道与白道的交点在恒星背景中自东向西退行的新天文概念，并且定出了黄白交点每日退行的具体度值。

第五，他提出了新的交食周期值，据此可得一食年长度为346.6151日。该值比他的前人和同时代人所得值都要准确，其精度在当时世界上也是首屈一指的。

第六，他提出了食限的概念，指出在合朔或望时，只有当太阳与黄白交点的度距小于14°33′时，才可能发生日食或月食现象，这14°33′就称为食限，就是判断交食是否发生的明确而具体的数值界限。

第七，他创立了具体计算任一时刻月亮距黄白交点的度距和太阳所在位置的方法。这实际上已经解决了交食食分大小及交食亏起方位等的计算问题，可是乾象历对此并未加阐述。这类计算问题的明确记载则首见于杨伟的景初历（237年）中。

第八，他发明有“消息术”，这是在计算交食发生时刻时，除考虑月亮运动不均匀性的影响外，还虑及交食发生在一年中的不同月份，必须加上不同的改正值的一种特殊方法，实际上已经考虑到太阳运动不均匀性对交食影响的问题。

第九，刘洪还和蔡邕一起，共同完成了二十四节气太阳所在位置、黄道去极度、日影长度、昼夜时间长度以及昏旦中星的天文数据表的测算编纂工作，该表载于东汉四分历中，后来它成为我国古代历法的传统内容之一。

总而言之，刘洪提出了一系列天文新数据、新表格、新概念和新计算方法，把我国古代对太阳、月亮运动以及交食等的研究推向一个崭新的阶段。他的乾象历是我国古代历法体系趋于成熟的一个里程碑。

魏晋南北朝

《元嘉历》是中国南北朝时期天文学家何承天创立的历法，属于阴阳历。《元嘉历》订正了旧历所定的冬至时刻和冬至日所在位置，改“平朔”为“定朔”，创立调日法，改革了“上元积年法”，计算了岁差数值百年一度，提高了天文数据的精确度，丰富了“浑天说”。

这是我国历法史上第二次大改革。一是改进闰法，把天文学家何承天提出的旧历中每19年7闰改为每391年144闰，使之更符合天象的实际。在我国首次求出历法中通常称为“交点月”的日数为27.212223日，与近代测得的数据（27.212220）极其相近。二是在制历时考虑岁差，一百年差一度。

所谓“交点月”就是月亮在天体上运行的路线有2个交点（也叫黄白交点），月亮2次经过同一交点的时间叫交月点。

历成后上表给宋孝武帝刘骏，却遭到宠臣戴法兴之流的压制和反对。祖著《历议》一文予以驳斥。祖死后十年即天监九年（公元510年）得以施行，达八十年之久。

《南齐书.文学传》：“宋元嘉中，用何承天所制历，比古十一家为密，冲之以为尚疏，乃更造新法（大明历）。”《隋书.律历志中》：“至九年正月用祖冲之所造甲子元历颁朔......陈氏历梁，亦用祖冲之历，更无所创改。”

《大明历》是由南北朝时期中国著名数学家、科学家祖冲之创制的一部历法，也称“甲子元历”。在历法中，祖冲之首次引入了“岁差”的概念，从而使得历法更加精确，是中国第二次较大的历法改革。

《大明历》采用的朔望月长度为29.5309日，这和利用现代天文手段测得的朔望月长度相差不到一秒钟。在《大明历》中，祖冲之提出了在391年插入144个闰月的新闰周。根据新的闰周和朔望月长度，可以求出《大明历》的回归年长度是365.24281481日，与现代测得回归年长度仅差万分之六日左右，也就是说一年只差50多秒，这是非常精确的资料。

冬至点是制订历法的起算点，因此测定它在天空中的位置对于编算历法来说非常重要。可是在祖冲之之前，历算家们一直认为冬至点的位置是固定不变的，这就使得历法制订从一开始就产生了误差。为此祖冲之把岁差概念引进历法中之后，大大提高了历法计算的精度。

成历于刘宋大明六年（公元462年）祖冲之时年33岁。规定一回归年为365.2428日，是中国赵宋统天历（公元1199年）以前最理想的一个数据。在制历时首先考虑岁差。所谓“岁差”就是由于地球在运行过程中受到其他天体的吸引作用，地球自转轴的方向发生缓慢而微小的变化。

因此从这一年的冬至到下一年的冬至，从地球上看，太阳并没有回到原来的位置，而是岁岁后移，这也就引起了24节气位置的变动祖冲之确定每45年11月差1°，这个“岁差值”虽很不精确，但引进“岁差”编制历法，是历法有了更科学的基础，而且在天文学中“回归年”和“恒星年”2个概念被区分开来。

北齐张子信，清河（今河北清河县）人，是北魏、北齐间著名的天文学家。他花了三十多年的时间，隐居于一海岛，专心致志地用浑仪观测日月五星的运动。570年前后，他获得了在我国天文学史上具有重大意义的三大发现，太阳视运动不均匀性、五星运动不均匀性、食差。

其中，有两项发现的数值与二十四节气有密切和稳定的关系，“入气差”和“入气加减”。

“太阳视运动不均匀性”：张子信由观测得知，太阳视运动从平春分到平秋分（时经半年）所历的黄道度数，要比从平秋分到平春分（亦时经半年）所历度数少若干度，于是，前半年太阳视运动的速度自然要比后半年来得慢，这是他导出这一发现的途径之一。途径之二，是循着与刘洪当年相似的方法达到的。

太阳的视运动是不均匀的，其表现为“日行在春分后则迟，秋分后则速”（《隋书·天文志》）。事实上，当时冬至点离开黄道的近地点不远，近地点只在冬至点前十度多，这一结果是大致符合实际情况的。随着时代的推移，冬至点和近地点越来越接近，大约在南宋的时候二者相合。

这就是太阳视运动的不均匀性。

“入气差”：二十四节气时，视太阳实际行度与平均行度之差。

张子信指出，欲使交食发生时刻的预推值与实际相吻合，除虑及月亮运动不均匀性的影响外，还须加上某一改正值（称为“入气差”），该值的正负、大小与二十四节气有密切和稳定的关系。这是刘洪“消息术”的再发现。

更重要的是，张子信由此升华出太阳视运动不均匀性的结论，给予“入气差”以合理的解释。他还推算出了二十四节气“入气差”（即二十四节气时，视太阳实际行度与平均行度之差）的具体数值，这是我国古代对太阳视运动不均匀性现象所作的最早的明确的定量描述。

“五星运动不均匀性”、“五星入气加减”：

五星运动不均匀性，张子信发现，依据传统的方法推算得的五星晨见东方的时刻，往往与实际天象不相符，常有应见而不见，或不应见而见的情况发生。

由进一步的考察，他确认五星晨见东方时刻的这种超前或滞后及其时间的长短（称为“入气加减”），也与二十四节气有紧密的、稳定的关系。张子信以为，这正是五星运动不均匀性的具体反映。同样，他也推算出了五星二十四节气“入气加减”的明确数值，从而实现了五星运动不均匀性的初始的定量描述。


在中国的张子信是花了“30年”多的时间，才发现的太阳运动的不均匀性，据说公元前2世纪，“古希腊”天文学家依巴谷(Hipparchus)由二分点不在二至点正中的事实，就已经发现了太阳视运动不均匀的现象，问题是“古希腊”依巴谷是怎么发现的？

现在都说是和“张子信取得类似发现的第一个途径所依据的事实大约与之相同，但揭示这一事实的具体手段则不一样，更何况第二个途径应是张子信取得和描述类似发现的更主要的方式。所以，张子信关于太阳运动不均匀性的发现和定量描述无疑是独立于古希腊的再发现。”

但实际上，“依巴谷”的发现没有任何证据，这是拿张子信发现的过程来证明“古希腊依巴谷”的发现，“古希腊”这么多天文发现，不是比中国早，就是比中国晚，反正都差不了几百年，那么“古希腊”应该有历法，有历史才对，为什么“古希腊”这些通通都没有呢？！

更奇怪的是，“古希腊”的“岁差”、“太阳运动的不均匀性”等等的发现，足以说明它们已经认识到地球是运动的，可是为什么西方还在相信“地心说”中的地球是静止的呢？！